Cours Int¶egration MA62
Fr¶ed¶eric H¶erau
Universit¶e de Reims mai 2006
Table des matiµeres
Introduction 2
1 Pr¶eliminaires et Rappels 3
1.1 La droite achev¶ee R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Rappels sur les fonctions r¶eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 D¶enombrabilit¶e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Tribus et applications mesurables 8
2.1 Tribus, espaces mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Structure des fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Mesures et int¶egration 16
3.1 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Int¶egration des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Th¶eorµemes de convergence et fonctions int¶egrables 26
4.1 Th¶eorµemes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Fonctions Int¶egrables et ensembles de mesure nulle . . . . . . . . . . . . . . 31
5 La mesure de Lebesgue sur R 36
5.1 Un th¶eorµeme de prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 La mesure de Lebesgue sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 Int¶egrale de Riemann et int¶egrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6 Espaces de fonctions int¶egrables 42
6.1 Les espace Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2 Int¶egrales d¶ependant d'un paramµetre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7 Produit d'espaces mesur¶es 53
7.1 Produit d'espaces mesurables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2 Mesure produit, Th¶eorµeme de Fubini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.3 Changements de variables et int¶egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58