Voie économie
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MATHEMATIQUES
Option économique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h
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La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Exercice 1
Soit f l’endomorphisme de IR3 dont la matrice dans la base canonique B de IR3 est : 2 10 7 A= 1 4 3. −2 −8 −6 On note I la matrice unité de M 3(IR) et on pose u = (2, 1, –2). 1) a) Montrer que Ker f = vect(u). b) La matrice A est-elle inversible ? 2) a) Déterminer le vecteur v de IR3, dont la 2ème coordonnée dans B vaut 1, et tel que f (v) = u. b) Démontrer que le vecteur w de IR3, dont la 2ème coordonnée dans B vaut 1, et qui vérifie f (w) = v est w = (0, 1, –1). c) Montrer que (u, v, w) est une base de IR 3 que l’on notera B’. On note P la matrice de passage de la base B à la base B’. 3) a) Écrire la matrice N de f relativement à la base B’. En déduire la seule valeur propre de f. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? b) Donner la relation liant les matrices A, N, P et P –1, puis en déduire que, pour tout entier k supérieur ou égal à 3, on a : A k = 0. 4) On note CN (respectivement CA) l’ensemble des matrices de M 3(IR) qui commutent avec N (respectivement A). a) Montrer que CN est un sous-espace vectoriel de M 3(IR) et que CN = vect (I, N, N 2). On admet que CA est aussi un sous-espace vectoriel de M 3(IR). b) Établir que : M∈CA ⇔ P –1M P∈CN . En déduire que CA = vect (I, A, A 2). Quelle est la dimension de CA ? 1
Exercice 2
1 1 2(1 − x ) 2 si x ∈[ 0, 2