Exo7
Logique, ensembles, raisonnements

1

Logique

Exercice 1
Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s’impose : ⇔, ⇐, ⇒ .
1. x ∈ R x2 = 4 . . . . . . x = 2 ;
2. z ∈ C z = z . . . . . . z ∈ R ;
3. x ∈ R x = π . . . . . . e2ix = 1.
Correction

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[000108]

Exercice 2
Soient les quatre assertions suivantes :
(a) ∃x ∈ R ∀y ∈ R
(c) ∀x ∈ R

x+y > 0

∀y ∈ R

x+y > 0

(b) ∀x ∈ R

;
;

(d) ∃x ∈ R

∃y ∈ R
∀y ∈ R

x+y > 0 ; y2 > x.

1. Les assertions a, b, c, d sont-elles vraies ou fausses ?
2. Donner leur négation.
Indication

Correction

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[000106]

Exercice 3
Dans R2 , on définit les ensembles F1 = {(x, y) ∈ R2 , y ≤ 0} et F2 = {(x, y) ∈ R2 , xy ≥ 1, x ≥ 0}. On note
M1 M2 la distance usuelle entre deux points M1 et M2 de R2 . Évaluer les propositions suivantes :
1. ∀ε ∈]0, +∞[ ∃M1 ∈ F1
2. ∃M1 ∈ F1

∃M2 ∈ F2

∃M2 ∈ F2

M1 M2 < ε

∀ε ∈]0, +∞[

M1 M2 < ε

3. ∃ε ∈]0, +∞[ ∀M1 ∈ F1
4. ∀M1 ∈ F1

∀M2 ∈ F2

∀M2 ∈ F2

M1 M2 < ε

∃ε ∈]0, +∞[

M1 M2 < ε

Quand elles sont fausses, donner leur négation.
Indication

Correction

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[000109]

Exercice 4
Nier la proposition : “tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans”.
Correction

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[000110]

Exercice 5
Nier les assertions suivantes :
1. tout triangle rectangle possède un angle droit ;
2. dans toutes les écuries, tous les chevaux sont noirs ;
1

3. pour tout entier x, il existe un entier y tel que, pour tout entier z, la relation z < x implique le relation z < x+1;
4. ∀ε > 0 ∃α > 0
(|x − 7/5| < α ⇒ |5x − 7| < ε).
Correction

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[000112]

Exercice 6
Soient f , g deux fonctions de R dans R. Traduire en termes de quantificateurs les expressions suivantes :
1. f est majorée ;
2. f est bornée ;
3. f est paire ;
4. f est impaire ;
5. f ne s’annule jamais ;
6. f est périodique ;
7. f est croissante ;
8. f est