CHAPITRE

4
Exercice 1

Fonction logarithme népérien

1 Les prérequis : « Vérifier les acquis » (page 86)
Prérequis testés Déterminer le nombre de solutions d’une équation du type f ( x ) = k à l’aide du tableau de variation de f. • Savoir transcrire graphiquement les données d’un tableau de variation. • Savoir traduire des limites en termes graphiques 2 1 O 1 Réponses a) f ( x ) = 0 admet deux solutions. b) f ( x ) = – 4 admet une solution. c) f ( x ) = 7 admet une solution.

3

Calculer la dérivée d’une fonction du type x f ( ax + b ) . • Savoir faire le lien entre primitives et fonction. • Savoir déterminer la primitive d’une fonction lorsque l’on impose une condition sur cette primitive.

2 f ' ( x ) = ------------------ . 4x – 5 a) On vérifie que F ' ( x ) = f ( x ) . b) Toutes les primitives de f sur ] – 1 ; + ∞ [ s’écrivent x2 ----------- + k , k ∈ . La condition G ( 1 ) = 0 entraîne x x+1 1 1 x2 k = – --- . Ainsi G ( x ) = ----------- – --- 2 x+1 2

4

2 Objectifs
À la fin de ce chapitre, les élèves doivent : • connaître la définition de la fonction ln ; • connaître le signe de ln ( x ) en fonction de x ; • connaître les propriétés algébriques de ln ; • connaître les limites de ln en 0 et en + ∞ ; • connaître le tableau de variation et la courbe de ln ; • connaître la définition des nombres e et em pour m réel ; • savoir résoudre quelques équations et inéquations où intervient ln ; • savoir étudier quelques fonctions où intervient ln ( x ) ou ln ( ax + b ) .

1 1 1 b) F ( x ) = – --- . ---- est une primitive de f ( x ) = ---- sur 2 x2 x3 ] 0 ; + ∞[. 1 1 1 c) F ( x ) = – --- . ---- est une primitive de f ( x ) = ---- sur 3 x3 x4 ] 0 ; + ∞[. 1 2. a) Pour n = 1, f ( x ) = --- . x b) La formule du tableau est donnée pour n ≠ 1 , on obtiendrait sinon x n – 1 = x 0 = 1 , ce qui est absurde. 1 3. a) ln ( 1 ) = 0 . b) [ ln ( x ) ] ' = --- . x 1 c) Puisque --- 0 sur ] 0 ; + ∞ [ , la fonction ln est strictex ment croissante sur ] 0 ; + ∞ [ .

3