Fiches de révision :
Intégration

Soit a et b deux réels tels que a<b et f une fonction continue et positive sur l’intervalle [a ; b]. On appelle C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal d’origine O. Puisque f est positif sur l’intervalle [a ; b], la courbe C est entièrement située au-dessus de l’axe des abscisses. On prend comme unité d’aire l’aire du rectangle de sommets le point O et les points de coordonnées (1 ;0), (1 ;1), (0 ;1).

On appelle aire sous la courbe de f entre a et b l’aire (en unité d’aire) du domaine délimité par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b.
L’intégrale de f sur [a ;b], notée f(x)dx, est l’aire sous la courbe C sur l’intervalle [a ;b].
Exemples : (p.138)

Relation de Chasles :
Conservation de l’ordre : Soit f et g deux fonctions continues et positives sur [a ;b], telles que: f(x) <=g(x) sur [a ;b]. Alors :

Si f est une fonction continue et positive sur l’intervalle [a ;b], la fonction F définie sur [a ;b] par F(x)= est dérivable sur l’intervalle [a ;b] et sa dérivée est la fonction f. On a F’(x)=f(x). De plus, la fonction F est croissante sur [a ;b]. Si F est une primitive de f sur [a ;b], alors :
Exemple : Soit f telle que f(x)= 3x²+2x+4 sur R.
La fonction F est définie et dérivable sur R par F(x)= x3+x²+4x.
F est une primitive de f car sa dérivée est F’(x)= 3x²+2x+4=f(x)
G(x)=x3+x²+4x-6 est la primitive de f qui s’annule en 1, car G(1)= 0 Soit f : [a ;b] R continu
Soit F(x) une primitive de f(x) (F’=f)
Alors f(x)dx=F(b)-F(a)
Notation :

Ici, f(x)=x²+1
F(x)=x3 /3+x
Donc F’(x)=f(x) cad F est une primitive de f.