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Le 3/12/2013
CORRIGÉ DU DEVOIR DE MATHÉMATIQUES

Exercice 1.
(1) D’après le cours, on a le tableau de variations : x −∞

−1

+∞

g
2

(2) On considère la fonction : f: R

−→

x

−→

R
2x2 + 4x + 1 x2 + 2x + 3

(a) Pour tout réel x, on a : x ∈ Df ⇐⇒ x2 + 2x + 3 = 0

Le discriminant du trinôme vaut :

∆ = 4 − 12 = −8

et ce trinôme n’admet donc pas de racines, d’où :

Df = R
(b) On a
∀x ∈ R, 2 −

5 g(x) =
=
=

5 x2 + 2x + 3
2x2 + 4x + 6 − 5 x2 + 2x + 3 f (x)
2−

5
(c) On a par la question précédente, f = 2 − g , d’où les tableaux de variations :

x

−∞

−1

g
2
1
2

1 g −

5 g 5
−2

f
1
−2

Exercice 2.
1

+∞

2

CORRIGÉ DU DEVOIR DE MATHÉMATIQUES

(1) On a le tableau de signes :
1
2

−∞

x

−

2x − 1

+∞
+

0

(2) D’après la question précédente, on a :
1
– Si x ∈ −∞; 2 , alors 2x − 1 0, d’où f (x) = |2x − 1| = −2x + 1.
1
– Si x ∈ 2 ; +∞ , alors 2x − 1 0, donc f (x) = 2x − 1.
En regroupant ces résultats dans un tableau, on obtient :
1
2

−∞

x f (x)

−2x + 1

+∞
2x − 1

0

(3) D’après la question précédente, on a :
∀x ∈ −∞;
∀x ∈

1
, f (x) = −2x + 1
2

; +∞1
, f (x) = 2x − 1
2

Les résultats de cours sur les variations des fonctions affines permettent alors d’affirmer que :
– f est strictement décroissante sur −∞; 1 .
2
1
– f est strictement croissante sur 2 ; +∞ .
D’où le tableau de variations : x 1
2

−∞

+∞

f
0
(4) La fonction f étant affine par « morceaux », sa représentation graphique est le réunion de deux demis-droites :



O

ı

Exercice 3. On considère la fonction : f: R x −→

−→

R
1
√ x2 − 4

CORRIGÉ DU DEVOIR DE MATHÉMATIQUES

3

(1) Désignons par Df l’ensemble de définition de le la fonction f , on a pour tout réel x : x ∈ Df

et donc (signe du trinôme) :

⇐⇒ x2 − 4 > 0
⇐⇒ (x − 2) (x + 2) > 0

Df = ]−∞; −2[ ∪ ]2; +∞[

(2) On a les tableaux de variations :