DS 1 – Première S6 Corrigé
Exercice 1 1. a) L’équation |x − 2, 5| = 4 est satisfaite si et seulement si la distance de x à 2, 5 est égale à 4, donc soit x = 2, 5 − 4 = −1, 5 soit x = 2, 5 + 4 = 6, 5, donc S = {−1, 5; 6, 5}. c) L’inéquation |x − 3| ≤ 2 est satisfaite si et seulement si la distance de x à 3 est inférieure ou égale à 2, donc x est compris entre 3 − 2 = 1 et 3 + 2 = 5, donc S = [1; 5].

b) L’inéquation |x| ≤ 4 est satisfaite si et seulement si la distance de x à 0 est inférieure ou égale à 4, donc S = [−4; 4].

2.

d) L’inéquation |6−x| ≥ 1 est équivalente à l’inéquation |x−6| ≥ 1. Cette inéquation est satisfaite si et seulement si la distance de x à 6 est supérieure ou égale à 1, donc si et seulement si x est inférieur ou égal à 6 − 1 = 5 ou supérieur ou égal à 6 + 1 = 7, donc S =] − ∞; 5] ∪ [7; +∞[. √ √ √ a) On a x = 2 ou x = − 2 si et seulement si la distance de x à 0 est égale à 2, donc si et √ seulement si |x| = 2. b) On a x ∈ [4; 7] si et seulement si la distance de x à (4 + 7)/2 = 5, 5 est inférieure ou égale à (7 − 4)/2 = 1, 5, donc si et seulement si |x − 5, 5| ≤ 1, 5. c) On a x ∈] − ∞; −2[ ∪ ]1; +∞[ si et seulement si la distance de x à (−2 + 1)/2 = −0, 5 est strictement supérieure à (1 − (−2))/2 = 1, 5, donc si et seulement si |x + 0, 5| > 1, 5, ou encore si et seulement si |2x + 1| > 3.

Exercice 2 1. b) Pour tout x ∈ Df on a a) La valeur interdite est la solution de 1 − 4x = 0 soit
1 4

donc Df = R −

1 4

.

1 1 − 4x 1 1 =− − − − 2 2 − 8x 2(1 − 4x) 2 − 8x = −1 + 4x − 1 2 − 8x 4x − 2 2 − 8x 2(2x − 1) 2(1 − 4x)

=

=

= f (x) 1 1 . Donc, pour tout x ∈ Df , f (x) = − − 2 2 − 8x 1 a) À l’aide de la calculatrice, on conjecture que f est décroissante sur −∞; 4 et décroissante 1 sur 4 ; +∞ .
1 b) Démontrons que f est décroissante sur −∞; 4 . 1 Soit a et b deux réels tels que a ≤ b < 4 .

2.

Première méthode : On a 1 1 1 1 − − − f (a) − f (b) = − − 2 2 − 8a 2 2 − 8b = 1 1 − 2 − 8b 2 − 8a (2 − 8a) − (2 − 8b) (2 −