Ensemble fini

l’identité ∑ Cn = ∑ Cn tement qu’un ensemble à n éléments contient autant de parties de cardinal pair que de parties de cardinal impair. k−1 k 2. (****) Trouver une démonstration combinatoire de l’identité kCn = nCn−1 . n k 3. (****) Trouver une démonstration combinatoire de l’identité C2n = ∑n (Cn )2 . k=0 Correction [005278] Exercice 2 *** Combien y a-t-il de partitions d’un ensemble à pq éléments en p classes ayant chacune q éléments ? (Si E est un ensemble à pq éléments et si A1 ,..., A p

Chapitre 6 : Probabilité sur un ensemble fini I. Vocabulaire des évènements Définition Exemple Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est soumis au hasard Tirer une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes L’ensemble de tous les résultats possibles relativement à une expérience aléatoire donnée est appelé univers et noté Ω Il y a 32 résultats possibles dans Ω L’événement est une partie de l’univers A : « la carte tirée est un cœur » B ; « la carte tirée est un 10 »

étudier les phénomènes où intervient le hasard sont basés sur la notion de probabilité. Celle-ci exige des dénombrements d’ensembles finis. C’est l’objet d’étude de l’analyse combinatoire. Toute suite d’éléments choisis parmi les éléments d’un ensemble fini peut être ordonnée ou non, selon que l’on tient compte ou non de la position occupée par les éléments. D'autre part, la suite peut être avec ou sans répétitions, selon qu'un même élément puisse être utilisé plusieurs ou une seule fois. Exemples

encouragements seront accueillis avec plaisir. daniel.fredon@laposte.net mmaumy@math.u-strasbg.fr fbertran@math.u-strasbg.fr Ava n t - p r o p o s 1 Table des matières Partie 1 : Analyse combinatoire Fiche 1 Fiche 2 Fiche 3 Fiche 4 Le langage des ensembles Analyse combinatoire Fonctions génératrices Compléments sur les séries et les intégrales 4 8 16 20 Partie 2 : Probabilités Fiche 5 Fiche 6 Fiche 7 Fiche 8 Fiche 9 Fiche 10 Fiche 11 Fiche 12 Fiche 13 Fiche 14 Fiche 15 Fiche 16 Fiche 17 Fiche 18

́efinition: Un ensemble E est fini si il n’est pas en bijection avec lui-mˆeme priv ́e d’un ́element. Un ensemble est infini si il n’est pas fini. On voit tout de suite deux difficult ́es avec cet exemple : d’abord il faut avoir d ́efini “ensemble” (ce que nous ne ferons pas) et “ˆetre en bijection” (ce qu’on fera au chapitre suivant) pour que la d ́efinition ait un sens ; ensuite il n’est pas imm ́ediat que la d ́efinition donn ́ee co ̈ıncide avec l’id ́ee intuitive que l’on a d’un ensemble fini (c’est

P(X). |Exemple : P(X ( 1) = P(X = 0) + P(X = 1) | 1 Principe. Toute variable est aléatoire dès lors que l’on a : • un ensemble de valeurs possibles ((). ( Exemple : ( = {pile; face} • une fonction de probabilité P(x) ( Exemple : P(pile) = 1/2 2 Définitions. |Variable aléatoire : |Variable dont les valeurs possibles sont connues et pour lesquelles on

possibles est Ω={FFF ; FFP ; FPF ; FPP ; PFF ; PFP ; PPF ; PPP}. La suite de caractères PFP est une éventualité de cette série de lancers. Événement[modifier le code] Un ensemble de résultats possibles définit un évènement. C'est un sous-ensemble de l'univers Ω. Il peut être décrit en extension (dans le cas d'un ensemble fini) ou par une description. Exemple 1: On lance un dé. L'univers est Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. La partie A = {1 ; 2 ; 3} est un évènement décrit en extension. Cet évènement

Nº : 32009 MATHEMATIQUES Série S Fiche 9 : Dénombrement Plan de la fiche I - Les listes II - Arrangements III - Permutations IV - Combinaisons V - Binôme de Newton VI - Principe fondamental du dénombrement I - Les listes p-liste E est un ensemble fini de n éléments (n entier, n ≥ 1) et p un entier (p ≥ 1). Une p-liste est une suite ordonnée de p éléments de E (éléments non nécessairement distincts). Exemple On joue quatre fois à pile ou face, et on note à chaque lancer le résultat obtenu (P

qu'un seul choix possible. (On peut imaginer un arbre pour écrire toutes les permutations de E) Le nombre de permutations de E est alors : n x (n - 1) x (n - 2) x ... x 2 x 1 Démonstration 02 (retour au cours) Soit E un ensemble à n éléments (n ³ 1)  Il y a une seule partie à 0 éléments dans E, c'est la partie vide. Donc  = 1  Il y a une seule partie à n éléments dans E, c'est la partie E elle-même, donc  = 1  E possède n éléments, donc n parties à

Seconde 2 011 – 2 012 PROBABILITES - Cours page n° 1 1) Loi de probabilité sur un ensemble fini : Une expérience est dite aléatoire lorsqu'elle a plusieurs issues (ou résultats) possibles et que l'on ne peut prévoir ni calculer laquelle de ces issues sera réalisée. On note : E = {x1 ; x2 ; ... ; xn } l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire. Exemple : On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées 1, 2, 3, 4, 5, 6 et on lit le numéro porté sur la face supérieure. L'ensemble