Fonction de répartition

| 1 Principe. Toute variable est aléatoire dès lors que l’on a : • un ensemble de valeurs possibles ((). ( Exemple : ( = {pile; face} • une fonction de probabilité P(x) ( Exemple : P(pile) = 1/2 2 Définitions. |Variable aléatoire : |Variable dont les valeurs possibles sont connues et pour lesquelles on peut rattacher à chacune d’entre elles une | |

En effet, celui-ci permet de définir la probabilité de survenance de l'événement comme l'espérance de la variable Y, puisque : L'objectif des modèles dichotomiques consiste alors à expliquer la survenance de l'événement considéré en fonction de K caractéristiques observées (Xi1,.., XiK) pour un individu i de l'échantillon. 2. Un modèle linéaire ? De manière générale, comme pour le modèle linéaire, on écrit pour les variables explicatives Xi= (1, Xi1,.., XiK ) et pour les paramètres

La tendance à long terme B. Le mouvement saisonnier C. Les irrégularités D. Les perturbations 103 103 104 104 104 II. Les modèles de composition d’une série chronologique 105 III. Analyse de la tendance A. Ajustement de la tendance par une fonction analytique B. Définition d’une moyenne mobile C. Détermination de la tendance par la méthode des moyennes mobiles D. Inconvénients de la méthode des moyennes mobiles 108 108 109 110 112 IV. Correction des variations saisonnières A. Modèle additif

Exercices VII- Echantillonnage 1- Description des données statistiques sur un caractère 2- Echantillons aléatoires, statistiques, estimateurs 3- Estimateurs les plus usuels 2 a) Moyenne de l' échantillon b) Variance de l'échantillon c) Fonction de répartition de l'échantillon 4- Un exemple de comparaison de l'efficacité de deux estimateurs 5- Statistiques issues d'une loi normale a) Lois issues de la loi normale b) Moyenne et variance d'un échantillon de loi normale VIII- Tests d'hypothèses sur

 0,1  0,57  0,1  0,057 (A) (B fausse) Z~ B100;0,057 En moyenne, le nombre de boxeurs qui présenteront un traumatisme crânien  EZ  100  0,057  5,7 (C) (D et E fausses) Réponses exactes : A et C 4 Exercice 4 – Soit la fonction f définie par :  1  si x  a ; b  f x   b  a  0 si x  a ; b   où x   , a   , b   et a  b Quand f est une densité de probabilité, on note X1 la variable aléatoire associée à f. On note X2 la variable aléatoire égale

GG(a,ϴ) Les probabilités individuelles de N s’écrivent 0 1 1 1 La fonction génératrice des moments de N: exp 1 1 pour 1 1 L’espérance mathématiques et la variance sont données respectivement par . Remarque : lorsque a=1, la loi géométrique généralisée se réduite à la loi géométrique G( ). 3 1.3 Lois du coût de sinistres La variable du coût C de sinistre suit une loi Pareto de paramètres fonction de répartition F est donné par 1 0 et , dont la Où et sont des nombres

discrètes…………………………………………………4 2.1. Définition………………………………………………………………………………………………..4 2.2. Loi de probabilité………………………………………………………………………………….4 2.3. Fonction de répartition……………………………………………………………………….5 3. Variables aléatoires continues…………………………………………………7 3.1. Définition………………………………………………………………………………………………..7 3.2. Fonction densité de probabilité………………………………………………………..7 3.3. Fonction de répartition……………………………………………………………………….8 4. Espérance et variance………………………………………………………………11 4.1. Espérance mathématique……………………………………………………………………11

compenser les dépenses résultant des sinistres, en sachant que les montants des sinistres sont la réalisation d'une variable aléatoire. Soit : • S : La variable aléatoire représentant le montant cumulé des sinistres durant l'année. • G[x] : Fonction de répartition de la variable aléatoire représentant le montant cumulé des sinistres durant l'année. Si la distribution de la variable aléatoire « S » était connu il serrait facile de déterminer le montant équitable des primes. Mais en pratique cette hypothèse

qui suit une loi . Les correspondent aux quantités observées, les aux probabilités théoriques (lues dans les tables), et à la taille de l'échantillon observé. Pour une matrice: , qui suit une loi 4. Loi Gamma Rappel mathématique: fonction gamma d'Euler et propriétés  , pour     , si est entier Généralités sur la loi gamma  si   Somme de lois gamma. Soient et , 2 variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois et

Les variables aléatoires que nous étudierons sont des applications (des fonctions) de Ω dans R. Par exemple, au jeu de pile ou face, on peut décider qu’obtenir pile rapporte 1 e, alors qu’obtenir face fait perdre 1 e. On définit alors la variable aléatoire X par : X(pile) = 1 et X(face) = −1, qui donne le gain en euros en fonction du résultat de l’expérience aléatoire. Définitions et notations 1.2 ({X x}, Fonction de répartition) Soit X une variable aléatoire définie sur Ω. L’ensemble des éléments de