Estimateur

ECONOMETRIQUES-ROLE DE L’ECONOMETRIE 3 CHAPITRE I : REGRESSION LINEAIRE SIMPLE ET REGRESSION LINEAIRE MULTIPLE 7 I- REGRESSION LINEAIRE SIMPLE 7 1. Description du modèle : exemple introductif 7 2. Le modèle et ses hypothèses 8 3. Formulation des estimateurs : les moindres carrées 8 4. Hypothèse de normalité des erreurs 12 5. Equation et tableau d’analyse de la variance 13 II- LE MODELE DE REGRESSION MULTIPLE 14 1. Présentation du modèle 15 2. Hypothèses du modèle, estimation des coefficients

Introduction aux statistiques math´ematiques E. Moulines, F. Roueff 5 octobre 2012 Table des mati` eres I Estimation param´ etrique 1 Mod` ele de Bernoulli 1.1 Exhaustivit´e . . . . . . . . . 1.2 Estimateur du maximum de 1.3 Estimation sans biais . . . . 1.4 Intervalles de confiance . . . 1.5 Approche asymptotique . . 1.6 Tests d’hypoth`eses . . . . . 3 . . . . . . . . . vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mod´

position . . 1.3.2 Paramètres de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 12 12 13 2 Estimateur-estimation 2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Définition d’un estimateur . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Propriétés d’un estimateur . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Comment fabriquer un estimateur ? . . . . . . . . . 2.5 Information de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Borne de Fréchet-Damois-Cramer-Rao . . . 2.5.2 Théorème

ALEATOIRE SIMPLE AVEC REMISE (PEAR) 2.3.1 Plan de sondage 2.3.2 Probabilit´s d’inclusion e 2.4 VARIABLES INDICATRICES 2.5 ESTIMATEUR 2.6 ESTIMATION D’UNE MOYENNE 2.6.1 Sondage al´atoire PESR e 2.6.2 Sondage al´atoire PEAR e 2.7 ESTIMATION D’UN TOTAL 2.7.1 Estimateur de τ ˆ 2.7.2 Esp´rance de τ e ˆ 2.7.3 Pr´cision de τ e 1 2.8 ESTIMATION D’UNE PROPORTION 2.8.1 Estimateur de π ˆ 2.8.2 Esp´rance de π e ˆ 2.8.3 Pr´cision de π e 2.9 EFFET DE (PLAN DE) SONDAGE 2.9.1 D´finition e 2.9.2 Exemple 2.10

d’échantillonnage Économétrie Francesco Quatraro – 2010/2011 8 Le modèle de régression simple • Dans la réalité nous ne connaissons pas les valeurs vrais des coefficients • On peut seulement observer le valeurs de C et de R • Les estimateurs de coefficients sont notés respectivement: • ces sont des variables aléatoires, qui suivent les mêmes lois de probabilité, celle de , puisque ils sont fonction de Économétrie Francesco Quatraro – 2010/2011 9 .4 .2 0 Density

Cherrouk C. ESTIMATION DES PARAMÈTRES • Propriétés des paramètres: ̂ E(â) = a ; E(b) = b  â et b̂ sont des estimateurs sans biais de a et de b V(â) = ������������ ² ∑(������������ −������ )² V(b̂) = ������������²[ + ������ 1 ] ∑ ������������ −������ 2 ������ 2  â et b̂ sont des estimateurs convergents = ∑ ������ ² ������ − ������ estimateur de la variance des résidus. Yousra Cherrouk EXEMPLE • Soit l’évolution du niveau de production du blé d’une exploitation

26 Propriétés des estimateurs Moindres Carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Mesure de la qualité de l’estimation par Moindres Carrés . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.1 2.4.2 Valeurs ajustées et résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Estimation de la variance des termes d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Estimation de la variance des estimateurs Moindres Carrés .

variables aléatoires , l'équation de régression s'écrit , qui sont des réalisations des La problématique reste la même que pour la régression simple : • • • • estimer les paramètres en exploitant les observations ; évaluer la précision de ces estimateurs ; mesurer le pouvoir explicatif du modèle ; évaluer l'influence des variables dans le modèle : • globalement (les p variables en bloc) et, • individuellement (chaque variable) ; • évaluer la qualité du modèle lors de la prédiction (intervalle

y y log(y) log(y) x log(x) x log(x) Interprétation de β1 ∆y = β1 ∆x ∆y = (β1 /100)%∆x %∆y = (100β1 )∆x %∆y = β1 %∆x ` ´ Introduction a l’Econometrie – p. 48/? Propriétés des estimateurs MCO SLR=Simple Linear Regression. Quelles sont les propriétés statistiques de l’estimateur des MCO ? ˆ ˆ β0 et β1 sont des estimateurs des paramètres de la population β0 et β1 . Ce sont donc des variables aléatoires car on obtiendra ˆ ˆ des β0 et β1 différents si on utilise des échantillons différents (tirés de

explicatrices est prédéterminée et non aléatoire. Ainsi résoudre le modèle consiste à estimer les paramètres [pic](inconnu) par [pic] en appliquant la méthode des moindre carrés ordinaire (MCO). II. Estimation des paramètres et propriété des estimateurs 1- Estimation des paramètres : L’estimation par la méthode des MCO donne les résultats suivant : (X’X) b = X’Y b=(X’X) ˉ¹ X’Y [1] (III) Il n’est possible d’écrire b sous cette forme que si la matrice carrée x’x de dimension