Méthode de dichotomie

IPT Informatique Pour Tous : Python™ Résolution approchée d'une équation – Dichotomie, Newton. Objectif : L'objectif de ce TD est de mettre en œuvre et de comparer les performances de deux méthodes de recherche approchée d'une racine d'une équation algébrique : méthode de dichotomie, méthode de Newton (avec variante selon la connaissance ou non de la dérivée de la fonction). Problème proposé : recherche des fréquences propres des modes de vibrations d'une pale d'hélicoptère. (d'après

S4 - compléments de mathématiques 1 - Analyse numérique département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble Nous allons passer en revue plusieurs méthodes permettant de déterminer des valeurs approchées des solutions d’équations du type f (x) = 0. Commeparailleursf(1)=−10,onsaitquef s’annuleunefoiset une seule entre 1 et 2. Il sera parfois plus pratique de résoudre g(x) = x : il suffit de poser f(x) = g(x) − x pour voir que les deux types d’équations sont équivalents. Maisf(1,5)=1,52 −2=0,25>0

l., Via Decembrio 28, I-20137 Milano Springer-Verlag Italia est membre de Springer Science+Business Media Préface Préface de la première édition Ce livre constitue une introduction au Calcul Scientifique. Son objectif est de présenter des méthodes numériques permettant de résoudre avec un ordinateur des problèmes mathématiques qui ne peuvent être traités simplement avec une feuille et un stylo. Les questions classiques du Calcul Scientifique sont abordées : la recherche des zéros ou le calcul

scalaire p = 1 Algorithmes de résolution Méthode de dichotomie Méthode de Newton Méthode de la sécante 2 Etude de la convergence Cours d’Analyse Numérique, Chapitre 3 : Résolution Numérique Introduction Cas scalaire p = 1 Bibliographie Introduction Bibliographie A. Quarteroni, R. Sacco et F. Saleri, « Méthodes Numériques pour le Calcul Scientifique », Springer-Verlag France, Paris, 2000. S. Guerre-Delabrière et M. Postel, «Méthodes d’approximation, Equations différentielles

But du TP : On cherche numériquement le minimum d’une fonction f unimodale définie sur l’intervalle [a, b]. Pour cela, on va utiliser les méthodes de dichotomie sans et avec dérivées et la méthode de Newton-Raphson et et les appliquer sur quelques fonctions. Question 1 : ➢ Méthode de dichotomie sans dérivées ; Il s’agit de considérer un intervalle plus petit [a’1, b’1] tel que a’1= (1-ρ1)a0+ ρ1b0 et b’1= ρ1a0+(1- ρ1)b0 ou 0 < ρ1=-1définie par F-1=0,F0=1, Fk+1=Fk+Fk-1 Montrons que

théorème de bijection 2.1 Le théorème de bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Extensions du théorème de la bijection . . . . . . . . . . 2.3 Recherche de solutions approchées de l’équation f (x) = k 2.3.1 La méthode par dichotomie . . . . . . . . . . . . 2.3.2 La méthode par balayage . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 7 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

la naissance d’un fils le comble de joie. Le sort voulut que la vie de ce fils soit deux fois plus coure que celle de son père. Après la mort de ce fils, Diophante vécut encore quatre année. » A quel âge est mort Diophante ? Algorithme de dichotomie Pour la recherche d’un encadrement des solutions (= des racines) d’une équation de la forme f(x)=0 On considère une fonction f monotone sur [a ;b] tel que f(a) et f(b) soient de signes contraires. On cherche un encadrement de [pic], réel de [a ;b]

chiffre 1. En k questions, on a determine tous les chiffres binaires de la bonne boˆte. Cela revient ı ´ ` egalement a poser k questions, chaque question ayant pour but de diviser successivement le nombre de ´ ´ ´ boˆtes considerees par 2 (methode de dichotomie). ı ´ ˆ ´ Jerome Aze (LRI-CNRS) Cours DataMining 2009-2010 4 / 10 Entropie Principe Mesure de l’information Exemple ´ Si N = 1, I = 0. Il n’y a qu’une seule boˆte : aucune question n’est necessaire. ı ´ ´ Si N = 2

Exemples 51 Point d’inflexion 52 Exemple 53 Mise en garde 54 Quelques théorèmes fondamentaux en analyse de fonctions numériques de la variable réelle Théorème des valeurs intermédiaires 55 Cas particulier important 56 Exemples 57 Méthode de dichotomie pour approcher une solution réelle de l’équation f(x) = 0 58 Théorème de Rolle 59 Mise en garde 60 Généralisation : Théorème des accroissements finis 61 Corollaire : Inégalité des accroissements finis 62 Exercice 63 Règle de L’Hôpital

. . . . . . . . . Méthodes directes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Résolution des systèmes triangulaires. . . . . . . . . . . . 2.1.2 Méthode d'elimination de Gauss et décomposition LU . . . 2.1.3 Elimination avec recherche de pivot. . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Matrices tridiagonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 L'inverse d'une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Considération sur la précision des méthodes directes pour les