Symbole de Kronecker

a) Si ½ ¼ Ð ¾ ½ Ò℄ º Ð ÙÐ Ö ØÖ´ ×Ø × Ñ Ð Ð ¦ Ñ Ø ℄ ´¼¾µ On ´ecrit les ´el´ements de ¡ ³ ÒØ Ö× ´ et on doit r´ esoudre ¾«¾ · « ½ pose ¾ et ¿ ´ ¾ µ et on compl`ete. Par exemple ´½ ½ ¼µ. ´½ ¼ ¼µ, ½ ´¿ ½  ½µ ¾ ´bµ Ð µº avec le symbole de Kronecker, et § MATº ËÓ ÒØ Ò ¾ Æ ¸ Å ¾ ÅÒ ´Ã µ Ø ´ ¼ Ü ×Ø ÙÒ ÓÙÔÐ   Á¾ .  ½. ¼ ¼ ¼ Ð Ñ ØÖ ½ ¼ ¼ º ¼ ¼ ¼ On g´eom´ etrise. On cherche des vecteurs ´ ½ ¾ ¿ µ tels que ´ ½µ ´ ¿ µ ¼. Donc notamment ¿ ¾ Ã Ö et ½ ¾ ¾, ´ ¾µ Ã Ö ¾ . On v´erifie que

grands nombres. Preuve : Posons Yn = [Xn −E(Xn )]/n. La série V (Yn ) converge et il résulte du lemme précédent que Yn converge presque sûrement et cela implique que Xn obéit à la loi forte des grands nombres. (Le dernier passage utilise le lemme de Kronecker qui dit que si la série zn 1 converge alors la suite n n kzk tend vers zéro : cela s’obtient en utilisant le k=1 procédé de sommation d’Abel.) Deuxième théorème de Kolmogorov. Soit Xn une suite de v.a. indépendantes ayant la même loi de probabilité

peut alors utiliser les résultats du chapitre précédent pour détecter une corrélation significative. Une variable qualitative supplémentaire correspond à la donnée d'une partition des n individus en k catégories: on peut faire apparaître par des symboles différents les individus de chaque catégorie sur les plans principaux. En général on se contente de représenter chaque catégorie par son centre de gravité: on peut alors mesurer au moyen du rapport de corrélation la liaison entre une variable qualitative