Algorithme de Gram-Schmidt

Approximation hilbertienne et polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . 100 II.1 II.2 II.3 II.4 II.5 II.6 II.7 L’approximation hilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . 103 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Les polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Les polynômes de Tchebychev . . . . . . . .

l’application 5.1 Démarrage de l’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Choix du problème et de l’algorithme pour le résoudre . . . . . . . . . 5.3 Spécifications des fonctions et autres données d’entrée d’un algorithme 5.4 Exécution d’un algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Manuel du programmeur de l’application 6.1 Architecture générale . . . . . . . . . . . . 6.2 Fonctionnement de l’application . . . . . . 6.3 Représentation des fonctions . . . .

d’un probl`me . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.5 Stabilit´ d’un algorithme : un exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4 Recettes et rem`des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.1 G´neralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 1.4.2 Probl`mes d’overflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.3 Quelques algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 5 7

F ). Nombre de permutations de E. n n = , C) Combinatoire 1 - Nombre de parties à n éléments d’un ensemble à p éléments. 2 - Formules : p n-p n = 2n et k k=0 Formule du binôme. n n p = n-1 p-1 + n-1 p . 3 - Triangle de Pascal. Algorithme de calcul des n p . D) Complément sur l’ordre 1 - Ordre total, ordre partiel. 2 - Fonction strictement monotone : définition. Pour une fonction monotone dont l’ensemble de départ est totalement ordonné, l’injectivité équivaut à la stricte

linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.2.1 1.2.2 1.3 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algorithme d'élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthode de résolution d'un système d'équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elimination Gaussienne 7 7 10 12 13 16 17 Systèmes homogènes d'équations

linéaires et matrices 1.1 Introduction aux systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . 1.2 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Elimination Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Algorithme d’élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Méthode de résolution d’un système d’équations linéaires 1.4 Systèmes homogènes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

linéaires et matrices 1.1 Introduction aux systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . 1.2 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Elimination Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Algorithme d’élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Méthode de résolution d’un système d’équations linéaires 1.4 Systèmes homogènes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

linéaires et matrices 1.1 Introduction aux systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . 1.2 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Elimination Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Algorithme d’élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Méthode de résolution d’un système d’équations linéaires 1.4 Systèmes homogènes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

résultats sont appliqués au Chapitre 6 à l’itération des matrices et à la théorie des systèmes différentiels linéaires. On présente au Chapitre 7 la théorie des espaces vectoriels euclidiens (projections orthogonales, procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt), et le Chapitre 8 est consacré aux matrices carrées symétriques et orthogonales, avec applications à la Géométrie. Le dernier Chapitre est consacré à la notion de tenseur en Physique. De même que dans le cours d’algèbre, on a mis l’accent sur

. . . . . . . . . . . . . 4.3 ESPACES EUCLIDIENS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Espace préhilbertien réel . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Réduction simultanée d’ une forme quadratique dans 4.3.3 Méthode d’ orthogonalisation de Gram-Schmidt . . 4.3.4 Projection orthogonale-symétrie orthogonale . . . . 4.3.5 Décomposition d’ une isométrie . . . . . . . . . . . . 4.4 EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 FORMES HERMITIENNES - ESPACES HERMITIENS 5.1 FORMES