Symbole de Kronecker

variance Sample covariance Sample correlation Order statistic Samples from the normal distribution Convergence of random variables . . . Convergence in probability Uniform convergence in probability Little o error notation Big O error notation Order symbols Asymptotic equivalence Convergence in Lp Almost sure convergence Convergence in distribution Central Limit Theorem for iid samples Central Limit Theorem for niid samples Slutsky’s Theorem Delta Method Parametric models . . . . . . . . . . . Parametric

Physically a random process is something that produces a succession of symbols called “outputs” a random or nondeterministic manner. The symbols produced may be real numbers such as produced by voltage measurements from a transducer, binary numbers as in computer data, two-dimensional intensity fields as in a sequence of images, continuous or discontinuous waveforms, and so on. The space containing all of the possible output symbols is called the alphabet of the random process, and a random process is

confondant l’op´ rateur qk avec la variable qk . e ˆ ` Les op´ rateurs qk et pk ne sont pas commutatifs. En fait, ils ob´ issent a la relation de e ˆ ˆ e commutation suivante [ˆk , pl ] = qk pl − pl qk = i¯ δkl q ˆ ˆˆ ˆˆ h (1.11) o` δkl , le symbole de Kronecker, vaut 0 si k = l et 1 dans le cas contraire. u ˆ L’op´ rateur, G, associ´ a une grandeur physique G, s’obtient en substituant dans l’exprese e` sion classique, G(p, q, t), de la grandeur les coordonn´ es q ≡ {q1 , q2 , . . .} et les impulsions

(figure 2). La première d’entre elles consiste à analyser l'image brute fournie par un périphérique de digitalisation, de manière à localiser et isoler les caractères les uns des autres. C'est la segmentation du texte, qui décompose ce dernier en symboles élémentaires dont le nombre de classes distinctes possibles est limité, rendant ainsi plus aisée la tâche du système de classification. Malgré le style « imprimé » de l’écriture, cette étape est loin d’être triviale en pratique. Les contraintes d’écriture

digne d’un texte écrit. J’ai essayé, sans être sûr d'avoir réussi, de faire de mon mieux et de ne pas trop maltraiter cette magnifique langue qui est le français, et qui n’est pas la mienne. Nevers, 26 septembre 2002 Paolo Vannucci - iii - SYMBOLES UTILISES ∀ : pour chaque ∃ : existe au moins un ∃! : existe un seul ∈ : appartient / ou ':' : tel que α, β, k, v, u etc. : scalaires u, v, w etc. : vecteurs A, B, L etc. : tenseurs du deuxième ordre E : espace euclidien V : espace vectoriel des

pression le tenseur des contraintes vaut : 0  −p 0 1 0 0    σ =  0 − p 0  = − p  0 1 0   0 0 0 1 0 − p     I Avec I le tenseur identité, on obtient alors : σ = − pI En notation indicielle on a : σ ij = − p δ ij Avec δ ij le symbole de Kronecker qui vaut 1 si i = j et 0 si i ≠ j . 1.2 Prenons les forces de viscosité On ajoute le tenseur des contraintes visqueuses τ à notre expression : σ = − pI + τ La contrainte totale est donc la somme des forces de pression et des forces de viscosité

représenté par une droite. C'est un espace de dimension 1. Le plan est formé des couples Il est noté ( a1 ) de nombres réels. a2 a1 a2 a3 . Il est noté R2 . L'espace de dimension 3 est constitué des triplets de nombres réels R3 . Le symbole a1 a2 a3 a deux interprétations géométriques : 1. Un point   a1 • a2  a3       Figure 7.1 2. Un vecteur   a1 d a2  a3       Figure 7.2 65 66 CHAPITRE 5. ESPACES EUCLIDIENS ET APPLICATIONS LINÉAIRES On

r c η sin θ, (8.1) avec t le temps, r la distance de la charge par rapport au point o` le champ u est cherch´ (cf. Fig. 8.1), ε0 la permitivit´ du vide et c la vitesse de la lumi`re. e e e L’intensit´ de la lumi`re est e e I = ε0 c |E |2 o` le symbole u repr´sente la valeur moyenne dans le temps. e (8.2) q a Q h P Fig. 8.1 – Une charge acc´l´r´e au point Q engendre un champ ´l´ctrique au point ee e ee P . Les trois vecteurs QP, a et η sont coplanaires. L’intensit´ de la lumi`re dans

L’ensemble des nombres réels R est souvent représenté par une droite. C’est un espace de dimension 1. Le plan est formé des couples ( aa12 ) de nombres réels. Il est noté R2 . L’espace de dimension 3 est constitué des triplets de nombres réels R3 . Le symbole a1 a2 a3 a deux interprétations géométriques : 1. Un point   a1 • a2  a3       Figure 7.1 2. Un vecteur   a1 ❞ a2  a3       Figure 7.2 65 a1 a2 a3 . Il est noté 66 CHAPITRE 5. ESPACES EUCLIDIENS ET APPLICATIONS LINÉAIRES On généralise

L’ensemble des nombres réels R est souvent représenté par une droite. C’est un espace de dimension 1. Le plan est formé des couples ( aa12 ) de nombres réels. Il est noté R2 . L’espace de dimension 3 est constitué des triplets de nombres réels R3 . Le symbole a1 a2 a3 a deux interprétations géométriques : 1. Un point   a1 • a2  a3       Figure 7.1 2. Un vecteur   a1 ❞ a2  a3       Figure 7.2 65 a1 a2 a3 . Il est noté 66 CHAPITRE 5. ESPACES EUCLIDIENS ET APPLICATIONS LINÉAIRES On généralise