I Condition d’équilibre dans .

On considère un référentiel triorthogonal direct, et un fluide immobile dans (R) galiléen.

A) Bilan des forces sur un volume élémentaire du fluide

Point : parallélépipède de cotés dx, dy, dz.

Bilan des forces appliquées à l’élément de fluide dans ce volume élémentaire .
Poids .
Forces de pression du fluide extérieur sur Fx :
Forces de pression du fluide extérieur sur Fx+dx :
Donc
De même, et

B) Equilibre de dV

On admet que la condition d’équilibre s’écrit . Donc, ici :

Donc : Relation Fondamentale de la Statique des Fluides.

C) Continuité de la pression à l’interface entre deux fluides à l’équilibre

Continuité de la pression à l’interface (admise) : où appartient au fluide 1 et au fluide 2.

II Application de la RFS aux fluides incompressibles
A) Champ de pression dans un fluide incompressible

L’équation d’état du fluide incompressible montre que V est indépendant de P et T. Donc .
Soient A, B deux points dans un même fluide. S’il existe un chemin qui relie A et B tout en restant dans le fluide, on a :
Pour un élément infinitésimal de longueur de chemin qui relie A à B : . Donc, en intégrant : . On a alors, pour M variant dans le fluide et A constant : avec la constante égale à .
Application : vases communicants

Or . Donc .
Remarque : pour un gaz (supposé incompressible), en général, on pourra négliger . Donc (à petite échelle seulement).

B) Applications
1) Surface libre d’un fluide dans le champ de pesanteur

Pour tout point M à l’interface fluide–air : et (par continuité). On a donc : . Tous les points de la surface libre sont donc à la même altitude. La surface est donc perpendiculaire à . Il en est de même pour la surface de contact entre deux fluides (on suppose bien sûr les fluides non miscibles, au sens chimique du terme).

2) Mesure des pressions

;

. Donc . h est donc une mesure de la pression extérieure.
Définition : Si , .

3) Tonneau de Pascal

Donc. Donc augmente