Chapitre 6
FONCTIONS HYPERBOLIQUES
6.1

D´ efinitions On d´efinit trois fonctions sur R par ex + e−x
(cosinus hyperbolique),
2
ex − e−x sh x =
(sinus hyperbolique) et
2
sh x
(tangente hyperbolique). th x = ch x

ch x =

Remarques :
• On utilise parfois coth x =

1
·
th x

• Le terme hyperbolique se justifie g´eom´etriquement. En effet, en posant : quand t d´ecrit R, M de coordonn´ees (x, y) d´ecrit une branche d’hyperbole.

6.2

Trigonom´ etrie hyperbolique

Dans toute la suite, a et b d´esigneront deux r´eels.

6.2.1

Premi` eres formules ch a + sh a = ea et ch a − sh a = e−a ch2 a − sh2 a = 1 et par suite, ch a ≥ 1
1
1 − th2 a = et par suite, − 1 < th a < 1 ch2 a

35

x = a ch t y = b sh t

6.2.2

Formules d’addition

ea+b = ea eb = (ch a + sh a)(ch b + sh b) = ch a ch b + ch a sh b + sh a ch b + sh a sh b e−(a+b) = e−a e−b = (ch a − sh a)(ch b − sh b) = ch a ch b − ch a sh b − sh a ch b + sh a sh b
Or ch (a + b) =

ea+b + e−(a+b)
2

et

sh (a + b) =

ea+b − e−(a+b)
2

d’o` u: ch (a + b) = ch a ch b + sh a sh b

sh (a + b) = sh a ch b + ch a sh b

ch (a − b) = ch a ch b − sh a sh b

sh (a − b) = sh a ch b − ch a sh b

ch 2a = ch2 a + sh2 a = 1 + 2sh2 a = 2ch2 a − 1

sh 2a = 2sh a ch a

On obtient ensuite en quotientant : th a + th b th a − th b th (a + b) = th (a − b) =
1 + th a th b
1 − th a th b

6.2.3

2th a
.
1 + th2 a

Transformation de produits en sommes

Ces formules r´esultent des pr´ec´edentes :
1
ch a ch b = [ch (a + b) + ch (a − b)]
2
1 sh a ch b = [sh (a + b) + sh (a − b)]
2

6.2.4

th (2a) =

1 sh a sh b = [ch (a + b) − ch (a − b)]
2
ch2 a =

ch 2a + 1 ch 2a − 1 et sh2 a =
2
2

Transformation de sommes en produits

En posant p = a + b et q = a − b, il vient alors : p−q p+q p−q p+q ch ch p − ch q = 2sh sh ch p + ch q = 2ch
2
2
2
2 sh p + sh q = 2sh

6.2.5

p−q p+q ch
2
2

sh p − sh q = 2sh

p−q p+q ch
2
2

Changement de variable

2t
1 + t2
2x
2x ch + sh 2
1 + th2 x2
De plus, ch x = ch2 x2 + sh2 x2 = 2 x2
.
Donc ch x
=
ch 2 − sh2 x2
1 − th2 x2
2t
De ces