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Sensibilité de la prime d’une option à la variation des paramètres de la formule de Black & Scholes Olivier Levyne (2007)
Docteur en Sciences Economiques
HDR en Sciences de Gestion
Les dérivées partielles de la formule de Black and Scholes expriment la sensibilité de la prime d’une option aux petites variations des principaux paramètres : cours du sous-jacent, volatilité, temps restant jusqu’à l’échéance, taux d’intérêt sans risque.
Elles permettent de déterminer des indicateurs …afficher plus de contenu…

Donc ici :
S
SC

 )( = C’(S) = dérivée de C par rapport à S
Par ailleurs : d1 =


2
²ln ++r
E
S =


2
²lnln ++ re
E
S =


 2
²ln + rEe S =


 2
²
)( ln +
−rEe
S
Donc d1 =


2
²lnln +− −rEeS
 = C’(S) = [S(d1)–Ee-r(d2)]’ = 1.[d1(S)]+S[d1(S)]’-Ee-r[d2(S)’ dans la mesure où :
{u[v(x)]}’ = u’[v(x)]. v’(x). 2
En outre, si (x) =
2
1
 −
−x
t dte 2
2
alors ’(x) =
2
1 2
²x
e
−
=f(x)
Dès lors :
 =  (d1) + S.f[d1(S)].d’1(S) -Ee-r.f[d2(S)].d’2 (S).
Or : d2(S)= d1 (S)-   alors, d’2(S)= d’1 (S)
Et :
)( 2df = f(d1-  ) = 2
)( 2
1
2
1
td e 

−
−
= 22
2
1
2
1
2
1



−+− d d e = 22
2
1
2
1
..
2
1



−−
eee d d
= 22 ln 2
222
1
..
2
1



−+−
− eee rEe
Sd
= 222
222
1
..
.
.
2
1



−
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r e r



 − = Rho du call – 0 -  . reE −. =  .Ee-r(d2) -  . reE −. = - . reE −. [1-(d2)]
Rho du put = - . reE −. .(-d2) 14
Exemple 5
Le rho des options de l’exemple 1 exprime la variation des primes des options engendrée par une variation de 1, soit 100%, du taux sans risque
Rho du call = 0,833 x 100.e-0,583x0,833(1,17) = 70 €
Rho du put = 0,833 x 100.e-0,583x0,833(-1,17) = 0,833 x 100.e-0,583x0,833[(1,17)-1] = -10 €
Il est alors possible d’en déduire l’impact d’une variation de 1% du taux sans risque :
Rho du call =
100
70 = 0,70 €
Rho du put = -
100
10
= -0,10 €
Dans l’hypothèse où le taux sans risque continu est porté à 6,83% d1 =
833,0.20,0
833,0).
2
²20,0
0683,0(
100
120
ln ++ = 1,40 d2 = 1,40 –0,20 833,0 =