M.E.F : Introduction à la méthode des éléments finis

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Quel que soit le domaine de la physique étudié, Le comportement (mécanique, thermique, électromagnétique, …) du système étudié est décrit par des équations aux dérivées partielles.
On dispose ainsi d’un modèle mathématique de comportement dont la solution est généralement difficile, voire impossible, à évaluer de manière formelle.

∂ 2u ∂ 2u
+ 2 + λu = 0 u (x, y )
2
∂x
∂y
Equation de Helmholtz

La solution consiste à rechercher à la fois u et λ
(problème de valeurs propres).
‰ vibration d'une membrane élastique
‰ ondes électromagnétiques
‰ vibration des fluides en acoustique

La Méthode des Eléments Finis (finite element method) est une des méthodes les plus utilisée aujourd'hui pour résoudre effectivement ces équations. Elle consiste à utiliser une approximation simple des fonctions inconnues (ex:déplacements) pour transformer
⎧a11u1 + L + a1n un = b1
⎪
les équations aux dérivées partielles en système
M
⎨ M d'équations algébriques.

⎪a u + L + a u = b nn n n ⎩ n1 1

Le nombre de variables inconnues étant souvent important (1.104 ~ 1.106), la
M.E.F nécessite l'utilisation intensive de l'ordinateur et d'algorithmes adaptés à la gestion et au traitement de la quantité d'informations.
T.Tison 2004

M.E.F : Introduction – Secteurs / Types de projets

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‰ Transport (Aéronautique, Automobile, Ferroviaire)
‰ Nucléaire
‰ Contrôle de la pollution (Thermique, Acoustique, Chimique)
‰ Gestion des nappes souterraines
‰ Mécanique / Biomécanique
‰ Thermique
‰ Electromagnétisme
…
A partir d'un modèle, disposer d'une solution numérique moins coûteuse qu'une solution expérimentale
T.Tison 2004

M.E.F : Introduction – Cas particuliers de la mécanique
Statique

Linéaire

Dynamique
™ Analyse statique

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Non linéaire

KU = F

K : matrice de rigidité
F : vecteur des chargements appliqués
U : vecteur des déplacements

La plus simple si le comportement est linéaire.
Objet : recherche des déplacements et des contraintes dans une