16 corrige TD4
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TD d’Economie Publique – Master 1 – Université Paris 1 Panthéon Sorbonne – Année 2010-2011CORRIGE TD 4
Question 4.1. Premier théorème du bien-être.
a.
• Résolution du programme de maximisation du consommateur A :
Max.
s.c.
On calcule le TMS :
On utilise la condition d’égalité du TMS au rapport des prix :
En utilisant la contrainte budgétaire, on obtient :
(1)
La condition d’égalité du TMS au rapport des prix devient :
soit
On obtient ensuite
en utilisant (1) :
•
Résolution du programme de maximisation du consommateur B :
Max.
s.c.
On calcule le TMS :
On utilise la condition d’égalité du TMS au rapport des prix :
En utilisant la contrainte budgétaire, on obtient :
(2)
La condition d’égalité du TMS au rapport des prix devient :
soit
On obtient ensuite
en utilisant (2) :
Pour déterminer q, on utilise le fait qu’à l’équilibre, les quantités consommées sont égales aux quantités disponibles, soit sur le marché 1:
2
Autrement dit :
On vérifie facilement que, pour cette valeur de q, le marché du bien 2 est aussi en équilibre.
On en déduit les quantités consommées au point d’équilibre :
ou
ou
b.
La courbe des contrats est la courbe qui relie l’ensemble des optima de Pareto dans un diagramme d’Edgeworth. La définition de l’optimum de Pareto dans une économie d’échange avec 2 individus A et B peut s’exprimer dans la manière suivante : l’utilité de l’individu A est maximale sous contrainte que celle de B soit maintenue à son niveau donné. Autrement dit, un optimum résulte d’un programme de type suivant :
Max.
s.c.
(
est donné)
( est donné)
(
est donné)
Résolution à l’aide d’un Lagrangien :
En annulant les dérivées partielles, il vient :
3
En retravaillant ces équations de manière à éliminer soit :
Finalement :
,
et
, on trouve :
et
soit
soit :
ou encore
La condition d’optimalité est donc l’égalisation des TMS des individus. Nous n’avons plus qu’à utiliser cette propriété pour définir l’équation de la courbe des