Chapitre

3

Raisonnement par récurrence et suites

1. Page d’ouverture

• Énigme ✱
Le calcul des puissances de n 1 sur tableur permet de
2

Ê 1ˆ conjecturer que si n pair, Á ˜ se termine par 625 (n  4) ;
Ë 2¯ n Ê 1ˆ si n impair, Á ˜ se termine par 125 (n  3).
Ë 2¯

À l’étape n, l’aire colorée en noir est a1 + a2 + … + an.
Calcul de a1. Soit a l’aire d’un triangle noir et  l’aire de chaque zone blanche, entre le carré ABCD et le carré
1
central. Pour un petit carré : a +  = (1 carré complet).
5
1
1 1
Dans le triangle ADH dont l’aire est ¥ 1 ¥ = on a
2
2
4
1
2a +  = .
4
1 1
1
1
On en déduit a = - = et a1 = 4a = .
4 5 20
5
n n Ê 1ˆ
Ê 1ˆ
1- Á ˜
1- Á ˜
Ë 5¯
Ë 5¯
1
L’aire noire à l’étape n est a1 ¥
= ¥
1
4
5
n
11 ÍÈ Ê 1ˆ ˙˘
5
5 soit 1 - Á ˜ .
4 ÍÎ Ë 5¯ ˙˚ n Ê 1ˆ
1
Ainsi, cette aire reste inférieure à car 1 - Á ˜  1 et
Ë 5¯
4
1 on ne recouvrira pas du carré ABCD avec ce procédé.
3

2. Vérifier les acquis
Ceci est toujours vérifié, en effet on passe d’un nombre au suivant en le divisant par 2, d’où les derniers chiffres sont 125 car 625 ÷ 2 = 312,5. De même, 125 ÷ 2 = 62,5 et les derniers chiffres du nombre suivant seront 625.

• Énigme ✱ ✱
A

B

1 a) Affirmation fausse : 2 × 2n = 2n + 1 et 4n = (2 × 2)n.
b) n désigne un nombre entier naturel, n n -1 n -1
Ê 3ˆ
4 Ê 3ˆ
4 3 Ê 3ˆ
¥Á ˜ = ¥ ¥Á ˜
= 2¥Á ˜
Ë 2¯
3 Ë 2¯
3 2 Ë 2¯
L’affirmation est donc vraie pour tout nombre entier naturel n.
2 a) Pour n = 0, n2 – 5n +1 = 1  0.
Pour n = 1, n2 – 5n +1 = −3  0.
Pour n = 2, n2 – 5n +1 = −5  0.
L’affirmation est vraie pour n = 1 et n = 2
b) Pour n = 0, 5n − 4n + 3 = 3
Pour n = 1, 5n − 4n + 3 = 4
Pour n = 2, 5n − 4n + 3 = 12
L’affirmation est vraie pour n = 0 et n = 2 n Ê 5ˆ n c) Pour n = 0, Á ˜ = 1 et 1 + = 1
Ë 4¯
4
n

D

H

C

Ê 5ˆ n 5
5
Pour n = 1, Á ˜ = et 1 + =
Ë 4¯
4 4
4

© Nathan. Hyperbole Term S

2

En repositionnant les 4 triangles noirs comme indiqué on obtient que dans le carré ABCD il rentre 5 carrés de même dimension que le carré central. Ainsi, à chaque