Sphères et boules
1. Définitions
La sphère de centre O et de rayon r est la surface constituée de tous les points situés à la distance r du point O.
La boule de centre O et de rayon r est le solide délimité par la sphère de centre O et de rayon
r. C’est l’ensemble des points situés à une distance du point O inférieure ou égale à r.

2. Représentation
Sur la sphère ci-contre :
O est son centre.
[OA] et [OM] sont deux rayons.
[AB] et [MP] sont deux diamètres.
M et P sont deux points diamétralement opposés. Un grand cercle est cercle de même centre et de même rayon que la sphère.

3. Section plane d’une sphère
La section d’une sphère par un plan est un cercle ou un point.

Un petit cercle est un cercle obtenu par la section d’une sphère par un plan ne passant pas par son centre.
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Exemple :
Calculer le rayon O’A du petit cercle sachant que
OA = 5 cm et OO’ = 4 cm.
Dans le triangle OO’A rectangle en O’,
D’après le théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle alors le carré de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit donc OA2 = OO’2 + O’A2
52 = 42 + O’A2
25 = 16 + O’A2
O’A2 = 25 − 16
O’A2 = 9
O’A = 3 cm

4. Aire et volume
L’aire d’une sphère est donnée par la formule A = 4π r 2 où r est le rayon de la sphère.
Le volume d’une boule est donné par la formule V =

4 π r 3 où r est le rayon de la boule.
3

Exemples :
a) Calculer l’aire d’une sphère de rayon 5 cm et donner une valeur arrondie au mm2 près.
A = 4 π × 52

A = 100 π

A ≈ 314,16 cm2

b) Calculer le volume d’une boule de diamètre 8 cm et donner une valeur arrondie au mm3 près.
V=

4
3

π × 43

V=

256
3

π

V ≈ 268,083 cm 3

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