L.S. l’ExcellenceDEVOIR DE MR : Smaali. KEF. SYNTHESE N°1. MONDHER. Niveau : 4SC.EXP. Le : 07-12-2011. Durée : 2H. EXERCICE N°1. α est un réel de]0, π [. A. Soit l’équation (E) : Z2-3Z+2=eiα (Z-2) 1- Vérifier que Z0= (1+eiα) est une solution de (E). 2- Trouver l’autre solution Z1 de (E). 3- Ecrire Z0 et Z1 sous leurs formes exponentielles. B. On pose P(Z)=Z3-4Z2+ (5-e2iα) Z+2(-1+e2iα) 1- Calculer P(2). 2- Déterminer les nombres complexes a et b pour que P(Z)= (Z-2) (Z2+aZ+b). 3- Déduire dans ℂ les solutions de l’équation P(Z)=0. C. Dans le plan complexe muni d’un RON (O,��,�� ), on considère les points A, M et N d’affixes respectifs : ZA=2, ZM=1+eiα et ZN=1-eiα. 1- Montrer que : OMAN est un parallélogramme. 2- Déterminer la valeur de α pour que : OMAN soit un losange. 3- Quelle est l’ensemble des points M lorsque α varie dans ] 0, π [. EXERCICE N°2.

Partie2.

4- Exprimer un et Vn en fonction de n, puis retrouver L.

Soit f une fonction définie sur IR et deux fois dérivables. Dans la figure ci-contre, on a représenté la courbe représentative (C) de f ’ la fonction dérivée de f. Notons que: * L'axe des abscisses est une asymptote à (C) au voisinage de l'infini. * f '(1)= 2 et f(1)  1 .
2

* La courbe représentative (Γ) de f admet une asymptote horizontale au voisinage de   . 1) Par une lecture graphique, répondre aux questions suivantes: a) Déterminer le sens de variation de f. b) (Γ) admet-elle un point d'inflexion? Justifier votre réponse. c) Déterminer f ' 1, et en déduire que |f '(x)|  2 , ∀ x  1 .
2

2) Montrer que l'équation f(x)=x admet une solution unique   1 3) Soit la suite réelle définie sur IN par Uo=1 et Un+1= f(Un). a) Montrer que pour tout n  IN, on a : Un  1 . b) Montrer que pour tout n  IN, on a : |Un+1-  |  2 |Un-  |.
2

c) En déduire que pour tout n  IN, on a : |Un-  |≤ Et calculer la limite de cette suite.

2 2

��

|Uo-  |

Partie1.
��0 = 1 (Vn) est la suite définie sur IN par v  vn . n 1 1  vn 1-