Séquence 5
1ère partie :
Produit scalaire (1)

2e partie :
Suites numériques (1)

Séquence 5 – MA12

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1ère partie
Produit scalaire (1)
Sommaire
1. Pré-requis
2. Produit scalaire de deux vecteurs
3. Synthèse de la partie 1 de la séquence
4. Exercices d’approfondissement

2

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Séquence 5 – MA12

1 Pré-requis
A

Théorème de Pythagore
1. Théorème de Pythagore
C

Vous connaissez bien sûr ce théorème.
Théorème

Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si AB2 + AC2 = BC2.

B

B

A

Vecteurs et calcul vectoriel
1. Vecteurs
Dans la séquence 1 nous avons vu.

Définition

Un vecteur est un « objet mathématique » qui caractérise une translation.
S’il n’est pas nul, il est défini par la donnée : d’une direction, d’un sens, et d’une longueur (on dit aussi une norme).

Commentaire

Propriétés

Soient A, B, C et D quatre points du plan. On a : AB = CD si et seulement si les segments
[AD] et [BC] ont le même milieu
(c’est-à-dire si et seulement si
ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati ou réduit à un point).

On peut aussi remarquer que cela signifie que, s’ils ne sont pas nuls, les vecteurs AB et CD ont la même direction (puisque (AB) et (CD) sont parallèles), le même sens (on va dans le même sens de A vers B et de C vers D) et la même longueur ( AB = CD ).

Séquence 5 – MA12

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Propriétés

Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan. On a : u = v si et seulement si u et v ont la même direction, le même sens et la même norme. Remarque

Lorsqu’un vecteur est défini à l’aide de deux points, AB, sa norme (c’est-à-dire sa longueur) peut se noter AB, puisque c’est aussi la distance entre les deux points A et B.
Mais lorsqu’un vecteur n’est pas défini à l’aide de points, u , et que l’on veut écrire sa norme, on utilise la notation u .
Pour un vecteur AB on peut alors écrire aussi AB , de sorte que : AB = AB.

2. Coordonnées d’un vecteur
Définition

)

(

Soit u un vecteur du