Algebre de bool
1942 mots
8 pages
Architecture des ordinateursCorrigé du TD 3 : Algèbre de Boole
Arnaud Giersch, Benoît Meister et Frédéric Vivien
1. Montrer comment l’opérateur et peut être obtenu à partir des opérateurs ou et non. De même pour l’opérateur ou avec les opérateurs et et non.
Correction : non(a ou b) = (non a) et (non b) ⇒ non((non a) ou (non b)) = a et b non(a et b) = (non a) ou (non b) ⇒ non((non a) et (non b)) = a ou b
2. On note respectivement les opérateurs ou, et, xor et non par +, ·, ⊕ et . Montrer à l’aide de tables de vérité que A ⊕ B = A · B + A · B et que A ⊕ B = (A + B) · (A + B)
Correction : Tables de vérités :
A⊕B
0
1
1
0
A
1
1
0
0
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
B
1
0
1
0
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A⊕B
0
1
1
0
A·B
0
0
1
0
A+B
1
1
1
0
A·B
0
1
0
0
A+B
0
1
1
1
A·B+A·B
0
1
1
0
(A + B) · (A + B)
0
1
1
0
3. Montrer que A + (A · B) = A + B et que A · (A + B) = A · B
Correction : On utilise la distributivité de l’opérateur ou sur l’opérateur et, et inversement :
A + (A · B) = (A + A).(A + B) = 1.(A + B) = A + B
A · (A + B) = (A · A) + (A · B) = 0 + (A · B) = A · B
4. Déterminer le complément de l’expression A + B ·C
Correction : On utilise les lois de de Morgan ; l’opérateur et est prioritaire :
A + B ·C = A · B ·C = A · (B +C) = A · B + A ·C
5. Montrer que les deux règles d’associativité sont duales, i.e. montrer qu’à partir de la règle d’associativité de l’opérateur ou, on peut déduire, en utilisant les lois de de Morgan, l’associativité de l’opérateur et (et inversement).
Correction :
A + (B +C) = (A + B) +C
⇔
A + (B +C) = (A + B) +C
⇔
A · (B ·C) = (A · B) ·C
A, B, et C sont des variables muettes. Par changement de variable {(A → A ), (B → B ), (C →)C } on obtient la propriété d’associativité du ou : A · (B ·C ) = (A · B ) ·C
1
6. Écrire l’expression A ⊕ B uniquement avec les opérateurs ou, et et non
Correction : D’après 2. :