Algebre et mathematique

Pages: 151 (37536 mots) Publié le: 19 mars 2013
` ´ ALGEBRE ET ARITHMETIQUE 1

Cours de l’Universit´ de Rennes 1 (2009–2010). e Url : http://perso.univ-rennes1.fr/david.bourqui/enseignement/0910S1/index.html#ar1

Ce texte est une version l´g`rement modifi´e du poly 2008-2009 du module AR1, qui avait ´t´ e e e ee r´dig´ par Christophe Mourougane sur la base d’un texte ant´rieur d’Antoine Chambert-Loir. e e e Que ces deux auteurs soient iciremerci´s. e 25 septembre 2009

` ´ ALGEBRE ET ARITHMETIQUE 1

` TABLE DES MATIERES

Partie I. Logique, th´orie des ensembles, nombres entiers naturels. . . . . . . . . . . . . . e 1. Logique et th´orie des ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.1. Un peu de logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Un peu de th´orie des ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2. Les entiers naturels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Constructiondes nombres entiers naturels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Le principe de r´currence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.3. Les op´rations ´l´mentaires sur N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. e ee 2.4. La relation d’ordre sur N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Quelques d´monstrations par r´currence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.6. Un peu d’histoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Ensembles finis, cardinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 4 6 11 12 12 13 15 18 19 20

Partie II. Arithm´tique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 e 3. La 3.1.3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. division euclidienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Construction des entiers relatifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le th´or`me de la division euclidienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Num´ration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Divisibilit´, congruence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Plus grand diviseur commun, algorithme d’Euclide.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plus petit multiple commun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 30 33 33 35 37 40 43 44 44 46 47 51 52 53 57 59

4. Les nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . ´ 4.1. Nombres premiers, crible d’Eratosth`ne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2. Factorisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Petit th´or`me de Fermat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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