Lois de composition internes

1-)

On définit dans I la loi ∗ par: a ∗ b = a + b + ab.
R
a-)
Justifier que ∗ est bien une loi de composition interne dans I
R.
b-)
Montrer que cette loi est commutative. Est-elle associative ? c-) Montrer que ∗ admet un élément neutre. d-) Quels sont les éléments inversibles par rapport à cette loi ? e-) Quels sont les éléments réguliers ? f-) Montrer que I + est stable par ∗. En est-il de même de I – ? de I * ? de Z ?
R
R
R
Z
––––––––––––––––

a-)

On veut montrer que: ∀(a, b)∈IR2, a ∗ b∈IR.
Or l'addition et la multiplication sont des LCI dans IR.
Par suite, a ∗ b = (a + b) + ab∈IR.

b-)

→

∀(a, b)∈IR2, b ∗ a = b + a + ba = a + b + ab = a ∗ b.
Donc ∗ est commutative.

→

∀(a, b, c)∈IR3, (a ∗ b) ∗ c = (a + b + ab) ∗ c = a + b + ab + c + (a + b + ab)c
(a ∗ b) ∗ c = a + b + ab + c + ac + bc + abc
(a ∗ b) ∗ c = a + b + c + ab + bc + ca + abc a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b + c + bc) = a + b + c + bc + a(b + c + bc) a ∗ (b ∗ c) = a + b + c + bc + ab + ac + abc a ∗ (b ∗ c) = a + b + c + ab + bc + ca + abc
Donc ∗ est associative. et c-)

On cherche s'il existe e dans IR tel que: ∀x∈IR, x ∗ e = x (E1).
(On sait que, dans ce cas, on aura e ∗ x = x car la loi est commutative).
(E1) est une équation d'inconnue e.
(E1) ⇔ ∀x∈IR, x + e + ex = x.
(E1) ⇔ ∀x∈IR, e(1 + x) = 0.
(E1) ⇔ ∀x∈IR, e = 0.
La loi ∗ admet donc 0 comme élément neutre.

d-)

x∈IR est inversible par rapport à la loi ∗ ssi il existe x'∈IR tel que: x ∗ x' = 0 (E2).
(On sait que, dans ce cas, on aura x' ∗ x = 0 car la loi est commutative).
(E2) est une équation d'inconnue x'.
La loi ∗ étant associative, on sait que cette équation admet au plus une solution.
(E2) ⇔ x + x' + xx' = 0.
(E2) ⇔ x'(1 + x) = -x.
-x
→
Si x est différent de -1, alors (E2) ⇔ x' =
.
1+x
→
Si x = -1 alors (E2) est impossible.
-x
Donc tous les réels sauf -1 sont inversibles et si x ≠ -1 alors x' =
.
1+x

e-)

→
→

La loi étant associative,