Loinormales Coursexos
1 - Lois normales
a) - Définition et , notée N ( ; ),
On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi normale (ou gaussienne) de paramètres
1 t–
si elle admet pour densité la fonction f définie sur IR par f(t) =
Si
= 0 et
–
1
e 2
2
2
.
= 1, on dit que X suit la loi normale centrée, réduite.
Remarque
Les lois normales interviennent très souvent et en particulier lorsque le phénomène étudié est la résultante de nombreuses composantes aléatoires (commerce : fluctuation des ventes, industrie : diamètres de pièces usinées qui sont la résultante de la qualité des matières premières, du réglage de la machine, de l'usure de l'outil, de la température...). b) - Propriétés
Si une variable aléatoire réelle X suit la loi normale de paramètres
E(X) = . Sa variance est V(X) =
2
et donc son écart-type est
et , alors l'espérance mathématique de X est
.
c) - Théorème 1
Soit X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes suivant les lois normales N (
X
.,
X
) et N (
Y
.,
Y
)
respectivement et soit a et b deux réels. a X + b Y est une variable aléatoire suivant la loi normale N (a
X
+b
Y
., a2
2
X
+ b2
2
Y
).
d) - Théorème 2
Si une variable aléatoire réelle X suit la loi normale de paramètres
et , alors
X–
suit la loi normale centrée
réduite.
Ce résultat est important car il déduit l'étude des lois normales de celle de la loi normale centrée, réduite.
e) - Théorème 3
Soit X et Y deux variables aléatoires réelles suivant des lois normales. X et Y sont indépendantes si et seulement si la covariance Cov(X , Y) de X et Y est nulle.
Remarque
La condition Cov(X , Y) = 0 est nécessaire mais non suffisante dans le cas de variables aléatoires quelconques.
2 - Vecteurs gaussiens
a) - Définition
Soit n
IN* et X = (X1 , X2 , ... , Xn) un n-uplet de variables aléatoires. n X est un vecteur aléatoire normal ou gaussien si pour tout n-uplets de réels
( 1,
2 , ... ,
n),
i
Xi est une
i=1
variable