Exo7
Espaces vectoriels de dimension finie

1

Base

Exercice 1
1. Montrer que les vecteurs v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 0, 1) et v3 = (1, 1, 0) forment une base de R3 . Trouver les composantes du vecteur w = (1, 1, 1) dans cette base (v1 , v2 , v3 ).
2. Montrer que les vecteurs v1 = (1, 1, 1), v2 = (−1, 1, 0) et v3 = (1, 0, −1) forment une base de R3 . Trouver les composantes du vecteur e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) et w = (1, 2, −3) dans cette base
(v1 , v2 , v3 ).
3. Dans R3 , donner un exemple de famille libre qui n’est pas génératrice.
4. Dans R3 , donner un exemple de famille génératrice qui n’est pas libre.
Indication

Correction

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[000981]

Exercice 2
Dans R4 on considère l’ensemble E des vecteurs (x1 , x2 , x3 , x4 ) vérifiant x1 + x2 + x3 + x4 = 0. L’ensemble E est-il un sous-espace vectoriel de R4 ? Si oui, en donner une base.
Indication

Correction

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[000901]

Exercice 3
Déterminer pour quelles valeurs de t ∈ R les vecteurs
(1, 0,t), (1, 1,t), (t, 0, 1) forment une base de R3 .
Indication

Correction

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[000996]

Exercice 4
1. Montrer que les vecteurs v1 = (1, −1, i), v2 = (−1, i, 1), v3 = (i, 1, −1) forment une base de C3 .
2. Calculer les coordonnées de v = (1 + i, 1 − i, i) dans cette base.
Indication

Correction

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[001006]

Exercice 5
1. Soit E = Rn [X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Montrer que toute famille de polynômes {P0 , P1 , . . . , Pn } avec deg Pi = i (pour i = 0, 1, . . . , n) forme une base de E.
2. Écrire le polynôme F = 3X − X 2 + 8X 3 sous la forme F = a + b(1 − X) + c(X − X 2 ) + d(X 2 − X 3 )
(a, b, c, d ∈ R) puis sous la forme F = α +β (1+X)+γ(1+X +X 2 )+δ (1+X +X 2 +X 3 ) (α, β , γ, δ ∈ R).
Indication

Correction

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[000992]

1

2

Dimension

Exercice 6
Soit E est un espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que : dim(F + G) = dim F