Universit´ de Nice Sophia-Antipolis e Licence L3 Math´matiques e

Ann´e 2008/2009 e

Analyse Num´rique e
Corrig´ du TD 5 e
EXERCICE 1

M´thode des approximations successives, ordre de convergence e
Soient I un intervalle ferm´ de R, g : I → I une fonction assez r´guli`re e e e admettant un point fixe l ∈ I i.e. g(l) = l. On consid`re une suite des it´r´s e e e suivante x0 ∈ I donn´ , e (1.1) xn+1 = g(xn ), ∀n ≥ 0 . a. Faire un dessin illustrant la construction de la suite (xn )n≥0 .

b. Calculer l’erreur en = xn − l et donner une condition pour que la m´thode e du point fixe (1.1) soit d’ordre p ≥ 1. On a en+1 = xn+1 − l = g(xn ) − g(l) (xn − l)p (p) (xn − l)p−1 (p−1) g (l) + g (cn ) , = (xn − l) g (l) + ... + (p − 1)! p! (1.2)

o` cn est un r´el compris entre xn et l. u e On trouve que la m´thode des approximations successives converge ` l’ordre p sous la e a condition : g (k) (l) = 0 , ∀ k = 1, ..., p − 1 , pour p > 1 , et g
(p)

(1.3)

(l) = 0 , pour p ≥ 1 ,

car sous les hypoth`ses (1.3) on a : e lim 1 (p) 1 xn+1 − l = lim g (cn ) = g (p) (l) = 0 . (xn − l)p n→+∞ p! p!

n→+∞

Cas o` p = 2. En posant M = supx∈I g (x) , on peut ´crire u e xn+1 − l ≤
2 M xn − l , 2

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ce qui peut s’´crire encore e xn+1 − l ≤ Par r´currence sur n, on trouve e
2 M . x0 − l 2 1 On voit que en choisissant x0 tel que x0 − l ≤ , on obtient 5M 2 n xn − l ≤ 10−2 . M Ce qui montre qu’` chaque it´ration le nombre de d´cimales exactes double en th´orie. a e e e

2 M

M xn − l 2

2

.

2 xn − l ≤ M

n

EXERCICE 2

Formules et illustrations graphiques des m´thodes it´ratives de e e recherche des z´ros d’une fonction e
On recherche un z´ro d’une fonction r´guli`re f : I → I o` I un intervalle e e e u ferm´ de R. e

2.1

M´thode de dichotomie e

Rappeler la m´thode de dichotomie qui permet d’approcher ce z´ro de f . e e Faites une illustration graphique.