Université du Sud Toulon-Var
ISITV - 1ère année

Analyse Numérique
Paola GOATIN

Table des matières
1 Calculs numériques approchés.

3

2 Systèmes linéaires.

5

1.1
1.2
1.3
2.1

2.2

2.3

Représentation décimale approchée des nombres réels. . . . . . .
Non-associativité des opérations arithmétiques. . . . . . . . . . .
Phénomènes de compensation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthodes directes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Résolution des systèmes triangulaires. . . . . . . . . . . .
2.1.2 Méthode d'elimination de Gauss et décomposition LU . . .
2.1.3 Elimination avec recherche de pivot. . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Matrices tridiagonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 L'inverse d'une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Considération sur la précision des méthodes directes pour les systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthodes itératives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 La méthode de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 La méthode de Gauss-Seidel. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Convergence des méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel. .
2.2.4 Méthode du gradient à pas optimal. . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Méthode du gradient conjugué. . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Zeros de fonctions non-linéaires.
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7

Méthode de dichotomie (ou de la bissection).
Méthode de Newton. . . . . . . . . . . . . . .
Méthode de la sécante. . . . . . . . . . . . . .
Méthode de la corde. . . . . . . . . . . . . . .
Méthode de point xe. . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Le théorème du point xe. . . . . . . .
3.5.2 Point xes attractifs et répulsifs. . . .
Encore à propos de la méthode de Newton. .
Le cas des systèmes. . . . . . . . . . . . . . .

4 Approximation polynômiale.
4.1
4.2
4.3
4.4