Université Pierre et Marie Curie 2009-2010 L3-PC UE LP331 Mathématiques

6.

Interférences à deux ondes. Soit la fonction de R3 -+ M a. A quoi est équivalent ô(x,y,z) quand z —> +00? Montrer que lim 6(x, y. z) = a. Donner un équivalent
b.. x—>+oo

TD 2 : Fonctions, Dérivées, développements limités
Sauf indications contraires, toutes les constantes introduites dans les énoncés sont des réels strictement positifs. Donner le domaine de définition et calculer les dérivées des fonctions : 7.

de S(x, y,z) —a quand x

+00 .

Equation de van der Waals. On considère la relation suivante entre les variables P, V et T :
(P + (V - b) = RT.

Dans toute la suite, la variable T est fixée. On souhaite déterminer le développement limité de PV en fonction de P autour de P = 0. oc Pour cela, on pose PV = 2_, bnPno a. Quel est le principe du calcul des {bn} ? b. Calculer explicitement 60,61 et 62c. Pour quelle valeur de T = TM a-t-on l'annulation 8. Développement dipolaire. Soit O une origine de l'espace affine, M et la famille {Mi} des points de cet espace. On considère la fonction de M3 —> M. suivante :
V(M) =

~2. HT

Calculer les d.l. au voisinage de 0 et à l'ordre 5 (sauf mention contraire) des fonctions : a. ln(e + x). b. cosx au voisinage de 1. c. tanx. d. (/l + 2x - I)sin 2 x. e. /l + x + s2 à l'ordre 3. f. cos(sinx). Calculer les limites :
a. x—>a lim x —a tan x — sin x

3.

, lim b. i-vo

On pose f = OM et o?; =
Vz,a,: = \CLi\ (i).

Étudier et tracer r(o>) pour w > 0. On supposera que fi

1 > 1.

11. Énergie libre de Gibbs d'un mélange non idéal. Soit g(x) la fonction suivante :

g(x) = xlnx

- x) +Wx(l-x)

a. Quel est le domaine de définition de g(x] ? Que doivent valoir, par prolongement, g(x = 0) et g(x = 1) pour que g(x) soit continue sur [0, 1] ? b. Calculer la dérivée première 1 et 0 < nsinA < 1. A et i sont des angles compris entre 0 et vr/2. a.. Expliquer pourquoi ce système définit d'une façon implicite e en fonction de