Candide
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S - EQUATIONS DE DEGRE 3 ET 4 ; RACINES D’UN POLYNOME MESURANT LES COTES D’UN TRIANGLEEquations de degré 3
Soit P (X) = X 3 + bX 2 + cX + d un polynôme de degré 3 à coefficients réels. On peut écrire P (X) = Q X + où Q(X) = X 3 + pX + q b2 bc 2b3 et q = d − + . 3 3 27 Il suffira de savoir calculer les racines de Q pour obtenir celles de P . p=c− Si l’on pose X = x+y, on trouve Q(X) = x3 + y 3 + (3xy + p)(x + y) + q , et donc, si (x, y) est solution du système (S) le nombre x + y est racine de Q. Inversement, si z est racine de Q, il existe deux nombres complexes x et y tels que x+y =z p , xy = − 3 et on a aussi 0 = Q(z) = x3 + y 3 + q . Donc (x, y) est solution de (S), et on obtiendra toutes les racines de Q en résolvant le système (S). 3xy + p = 0 , x3 + y 3 + q = 0 avec b 3
S 2
Ce système équivaut encore à 3 3 3 x y = −p 27 , 3 3 x + y = −q xy ∈ R et donc, cela équivaut à dire que x3 et y 3 sont racines du trinôme R(T ) = T 2 + qT − Si ∆ est le discriminant de ce trinôme, on a D = 27∆ = 4p3 + 27q 2 . Nous allons étudier les diverses situations obtenues suivant le signe de cette expression. • Si D est strictement positif, le trinôme R possède deux racines réelles distinctes t et t , et, en tenant compte du fait que le produit xy doit être réel, le système (S) a pour solutions (à une permutation près des variables), (t1/3 , t 1/3 ) , (j 2 t1/3 , jt 1/3 ) , (jt1/3 , j 2 t 1/3 ) . Il en résulte que Q a pour racines t1/3 + t 1/3 , j 2 t1/3 + jt 1/3 , jt1/3 + j 2 t 1/3 . p3 . 27
Seule la première est réelle, les deux autres sont complexes conjuguées. ¯ • Si D est strictement négatif, le trinôme admet deux racines non réelles conjuguées, t et t. Appelons x une racine cubique de t, alors les solutions de (S) seront (x, x) ¯ Il en résulte que Q a pour racines x+x ¯ Ce sont trois racines réelles. • Si D est nul, le trinôme a une racine double q t=− . 2 Le système (S) a alors comme solutions (t1/3 , t1/3 ) , donc Q a pour racines 2t1/3 , −t1/3 .