Lycée Marlioz - Aix les Bains

Bac Blanc 2011 Mathématiques - Terminale S
Candidats n’ayant pas choisi la spécialité maths

18 avril 2011

Pour cette épreuve, la rédaction, la clarté et la précision des explications entrent pour une large part dans l’appréciation des copies, sauf mention explicite du contraire dans l’énoncé. Le barème est donné à titre indicatif. Les calculatrices sont autorisées.

Aucune sortie définitive n’est autorisée avant 11h55.

1

TS

Bac Blanc

Page 2

Exercice 1 (7 points). Commun à tous les candidats PARTIE A - Restitution organisée des connaissances On suppose connues la dérivée de la fonction exponentielle et la formule de dérivation de u ◦ v ainsi que ses conditions d’utilisation. On suppose savoir que la fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et que pour tout x de ]0 ; +∞[ on a : exp(ln x) = x. À partir de ces quatre arguments, montrer que la dérivée de la fonction ln est la fonction définie 1 sur ]0 ; +∞[ qui à x associe . x PARTIE B - Étude de fonction On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par ln x . x

f (x) = x +

Le but du problème est l’étude de cette fonction et le calcul d’une aire. On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormal (O; i, j) d’unité graphique 3 cm. I - Étude d’une fonction auxiliaire On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = x2 + 1 − ln x. 1. Étudier les variations de g sur ]0 ; +∞[. 2. En déduire le signe de g sur ]0 ; +∞[. II - Étude de la fonction f et tracé de sa courbe représentative C 1. Déterminer la limite en 0 de la fonction f . Quelle est l’interprétation graphique de ce résultat ? 2. Déterminer la limite en +∞ de f puis montrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à la courbe C . 3. Soit f la fonction dérivée de la fonction f . Calculer f (x) pour tout réel x de ]0 ; +∞[. 4. En déduire le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[ puis dresser le tableau de variations de la fonction f . 5. Déterminer le