EXERCICE 3
Partie 1.
Pour tout réel x > 0, posons u(x) = 2x. La fonction u est définie, dérivable et strictement positive sur l’intervalle ]0, +∞[.
D’après le théorème 2, la fonction f : : x → ln(u(x)) est dérivable sur ]0, +∞[ et pour tout réel x > 0 f (x) =

2
1
u (x)
=
= . u(x) 2x x Pour tout réel x > 0, posons u(x) = ln 2 et v(x) = ln x. La fonction constante u et la fonction v sont dérivables sur l’intervalle ]0, +∞[. D’après le théorème 3, la fonction g est dérivable sur ]0, +∞[ et pour tout réel x > 0 g (x) = u (x) + v (x) = 0 +

1
1
= . x x

Pour tout réel x > 0, f (x) = g (x) =

1
.
x

Partie 2.
1. Soit a un réel strictement positif.
Pour tout réel x > 0, posons u(x) = ax. La fonction u est définie, dérivable et strictement positive sur l’intervalle ]0, +∞[.
D’après le théorème 2, la fonction f : : x → ln(u(x)) est dérivable sur ]0, +∞[ et pour tout réel x > 0 f (x) =

a
1
u (x)
=
= . u(x) ax x Pour tout réel x > 0, posons u(x) = ln a et v(x) = ln x. La fonction constante u et la fonction v sont dérivables sur l’intervalle ]0, +∞[. D’après le théorème 3, la fonction g est dérivable sur ]0, +∞[ et pour tout réel x > 0 g (x) = u (x) + v (x) = 0 +

1
1
= . x x

Pour tout réel x > 0, f (x) = g (x) =

2. Les fonctions f et g sont donc deux primitives de la fonction x →

un réel k tel que, pour tout x de ]0, +∞[, f(x) = g(x) + k.

1
.
x

1 sur l’intervalle ]0, +∞[. On sait alors su’il existe x 3. Quand x = 1, on obtient f(1) = g(1) + k ou encore ln a = ln a + ln 1 + k et finalement k = 0.
4. Mais alors, pour tous réels strictement positifs a et x on a ln(ax) = ln a + ln x.
Finalement
pour tous réels strictement positifs a et b, ln(ab) = ln a + ln b.

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c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.