EXERCICE 3 (4 points )

Commun à tous les candidats

1)

Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x.
a) Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, kn kk
≤ . n! k!
b) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, x xn
≤
n! k n

×

kk
.
k!

c) Montrer que : xn = 0. n→+∞ n! lim 2)

a) Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, nn−1 ≥ 1. n! nn−1 comme un produit de n − 1 facteurs supérieurs ou égaux à 1). n! b) En déduire que :

(on pourra écrire

nn
= +∞. n→+∞ n! lim 4

EXERCICE 3

1.

a. Soient x un réel positif ou nul puis k un entier strictement supérieur à x.

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à k, on a kn kk
=
et l’inégalité à démontrer est donc vraie quand n = k. n! k! kk kn
≤
. Alors
• Soit n ≥ k. Supposons que n! k!

kk kn ≤
.
n! k! • Quand n = k,

kn+1 k × kn k kn
=
=
×
(n + 1)!
(n + 1) × n! n+1 n! kn n + 1 kn
×
=
(car n + 1 ≥ n ≥ k)
≤
n+1 n! n! kk ≤
(par hypothèse de récurrence). k! On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à k,

kn kk ≤
.
n! k! b. Soit n un entier supérieur ou égal à k. D’après la question a., on a xn kn xn x
= n×
=
n! k n! k n

×

kn x ≤ n! k

n

×

kk
.
k!

c. Soit x un réel positif ou nul et k un entier naturel strictement supérieur à x (par exemple k = E(x) + 1). D’après la question précédente, pour tout entier naturel supérieur ou égal à k, on a xn x
≤
n! k 0≤

x x < 1. On sait alors que lim n→ +∞ k k xn = 0. gendarmes permet alors d’affirmer que lim n→ +∞ n!

n

×

n

= 0 et donc que

Maintenant, on a 0 ≤

Pour tout réel x positif ou nul,

2.

kk
.
k!

lim

n→ +∞

lim

n→ +∞

n

x k ×

kk
= 0. Le théorème des k! xn
= 0. n! a. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. n−1 n−1

n

n!

=

n−1

n n n n n × n× ...× n n × n × ...× n
× .
=
= × × ...
1 × 2× ... × n
2 × ...× n
2
3 n−1 n n n−1

Maintenant, pour tout entier naturel k tel que 2 ≤ k ≤ n, on a

n
≥ 1