M1 ISD

Statistique Bayésienne

Cours 3

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Lois a priori
Le choix des lois a priori est une étape fondamentale dans l’analyse bayésienne. Ce choix

peut avoir différentes motivations. Les stratégies sont diverses. Elle peuvent se baser sur des expériences du passé ou sur un intuition, une idée que le particien a du phénomène aléatoire qu’il est en train de suivre. Elles peuvent être également motivées par des aspects calculabilité .
Enfin, ces stratégies peuvent également tenir compte du fait qu’on ne sait rien par le truchement des lois non informatives.

4.1

Lois conjuguées

Une des difficultés de l’approche bayésienne est le calcul de la loi a posteriori. Ce calcul est facilité lorsque loi a priori et loi a posteriori ont la même forme. Dans ce cas, on parle de loi a priori conjuguée.
Définition 9 – Une famille F de lois sur Θ est dite conjuguée si, pour tout π appartenant à

cette famille, la loi π(θ/x) appartient également à celle-ci.

Dans ce cas, le praticien induit directement la forme de son estimateur dès qu’il a choisi sa loi a priori. Exemples de lois conjuguées f (x/θ)

π(θ)

π(θ/x)

E(θ/x)

N (θ, σ 2 )

N (µ, τ 2 )

N x/σ 2 + µ/τ 2 , [1/σ 2 + 1/τ 2 ]−1

x/σ 2 + µ/τ 2

G(n, θ)

G(α, β)

G(α + n, β + x)

(α + n)/(β + x)

B(n, θ)

Bêta(α, β)

Bêta(α + n, β + x)

(α + n)/(α + n + β + x)

P(θ)

G(α, β)

G(α + x, β + 1)

(α + x)/(β + 1)

M(θ1 , θ2 , ..., θn )

D(α1 , α2 , ..., αn )

D(α1 + x1 , α2 + x2 , ..., αn + xn )

Une loi conjuguée peut être déterminée en considérant la forme de la vraisemblance f (x|θ) et en prenant une loi a priori de la même forme que cette dernière vue comme une fonction du paramètre. Les lois a priori conjuguées obtenues par ce procédé sont dites naturelles.
Exemples :

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• Considérons une loi Pareto de paramètres (α, a). f (x|θ, a) =

θaθ
1
(x). xθ+1 [a,+∞[

Supposons a connu, f (x|θ) ∝ θeθ log(a/x) ,