Mourad

Pages: 6 (1388 mots) Publié le: 12 juin 2012
ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur
Introduction :
vecteurs, matrices et applications linéaires

Opérations sur les vecteurs
Vecteur x base (canonique) bi , i=1,n espace vectoriel V sur le corps des réels combinaison linéaire sous espace vectoriel base, dimension  x1      n     x = xi = ∑ xi bi   i =1   x   n  soient ( xi ∈ V )i = 1, k 0     bi =  1    0  
k

x ∈ Rn

∀x, y ∈ V , ∀λ , µ ∈ R λx + µy ∈ V
i =1 k

 α i xi α i ∈ R ∑

  W =  y ∈ V ∃α i ∈ R, y = ∑ α i xi  s.e.v. de V   i =1 k    noyau de W : ker(W ) =  y ∈ W ∑ α i xi = 0 i =1  

Opérations sur les vecteurs
Somme multiplication ? Vecteur transposé Norme produit scalaire, vecteurs orthogonaux
x' = ( x1  xi  xn ) x = ∑ xi = x' x
2 2 i =1 n

z = x+y

zi = xi + yi

( x, y ) = ∑ xi yi = x' y ;
i =1

n

x = ( x, x ) = x ' x
2

{y ∈ R n ( x, y) = 0}

Normes et produit scalaire
 n : E → R+ norme :   x  n( x ) exemples E = R n ; x =∑
2 2 n i =1 n

 n( x) ≥ 0 positivité  n( x ) = 0 ⇔ x = 0  vérifiant   n(λx) = λ n( x) n ( x + y ) ≤ n ( x ) + n ( y ) 
p n

xi2

; x

p p

= ∑ xi ( p ≥ 1) ; x 1 = ∑ xi ; x ∞ =sup xi
i =1 i =1 i =1, n

p ( x, y ) = p ( y , x )   produit  p : E × E → R p (λx, y ) = λp ( x, y )  vérifiant   x, y  p ( x, y ) scalaire   p ( x + y , z ) = p ( x, z ) + p ( y , z )  p ( x, x ) = n ( x )  n exemple E = R ; p ( x, y ) = ( x, y ) = ∑ xi yi ;
i =1 n

( x, x) = x = ∑ xi2 euclidienne
2 2 i =1

n

propriété : inégalité de Schwartz : ( x, y ) ≤ x 2 y 2 Matrices
Tableau de n lignes et k colonnes
 a11    A =  ai1    a  n1  a1 j  a1k         aij  aik         anj  ank  

Remarque fondamentale : on ne peu rien démontrer sans faire référence à l’application linéaire que la matrice représente
A : Rk → Rn x  y = Ax linéaire : A(λx + µy ) = λAx + µAy

Applications linéaires
Soient E et F deux espaces vectorielsDéfinition : u : E → F x  y = u ( x) u est linéaire ssi : u (λx + µy ) = λu ( x) + µu ( y ) Propriétés :

Noyau : ker(u ) = {x ∈ E u ( x) = 0} image : Im(u ) = {y ∈ F ∃x ∈ E tel que u ( x) = y} Noyau et image sont des s.e.v. resp. de E et de F image : s.e.v engendré par u(ei) rang = dim(Im(u)) u injective (ker(u) = 0) u surjective Im(u) = F   soit (ei ∈ E )i = 1, k une base de E , et ( f i ∈ F )i =1, n une base de F
définissons a ji tels que u (ei ) = ∑ a ji f j alors u ( x)
j =1 n

Par identification, on donne une signification aux colonnes de la matrice

Applications linéaires et matrices
définissons aij tels que u (e j ) = ∑ aij f i alors  k  k y = u ( x) = u ∑ x j e j  = ∑ x j u (e j )   j =1  j =1  k   n k n  ∑ x j aij  f i = ∑ x j  ∑ aij f i  = ∑    i =1 j =1 j =1  i =1  y = Ax =  ∑ x ja j
k j =1 i =1 n

et

yi = ∑ aij x j
j =1

k

 a1 j   yi   a11   a1k                     y  = x  a  + ... + x  aij  + ... + x  a  j k    i  1  i1   ik            y  a  a  a  nj   i  n1   nk  

Propriétés des matrices Im( A) = {y ∈ R ∃x ∈ R tel que Ax = y}
n k

c' est les.e.v. engendré par les colonnes de A Rg ( A) = dim(Im( A) ) c' est le nombre de colonnes de A linéairement indépendantes si Rg ( A) = n, l' application linéaire associée est surjective ker(A) = x ∈ R k Ax = 0 c' est un s.e.v. de R k si ker ( A) = {0}, l' application linéaire associée est injective Ax = b admet une solution ssi b ∈ Im( A)

{

}

u, A Ker(A) Rk •0

Img(A) Rn

Propriété desmatrices
– Soit A une matrice associée à une application linéaire u de E dans F – soit k = dim(E) et n=dim(F) Théorème Rg ( A) + dim(ker( A) ) = k Corolaire pour A donné, ∀b l' équation Ax = b admet une solution unique ssi k = n et (Rg ( A) = n ⇔ dim(ker( A) ) = 0)

Noyau Rang (nombre de colonnes linéairement indépendantes) variables équivalentes équations équivalentes systèmes liés -...
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