Travaux Dirig´s : Raisonnement par r´currence e e 1 La d´monstration par r´currence e e

Lorsqu’une propri´t´ est vraie pour tout entier naturel ou pour tout entier au-del` d’un entier donn´, le raisonneee a e ment par r´currence est l’un des outils ` envisager syst´matiquement pour sa d´monstration. e a e e Principe de la d´monstration par r´currence e e Soit ` d´montrer : a e ∀n ∈ [[n0 , +∞[[ P(n) o` P est une propri´t´ d´pendant de l’entier naturel n. u ee e

La d´monstration par r´currence consiste ` : e e a 1. v´rifier que la propri´t´ est vraie pour la valeur n0 : c’est l’initialisation de la r´currence. e ee e 2. puis v´rifier que si la propri´t´ est vraie pour un certain n (fix´ quelconque), alors la propri´t´ est vraie au rang e ee e ee suivant n + 1. Autrement dit, P(n) ⇒ P(n + 1) pour n entier fix´ quelconque (la propri´t´ est dite h´r´ditaire). e ee ee ALORS, on peut conclure que pour tout n ≥ n0 , la propri´t´ P(n) est vraie. ee Attention : la propri´t´ ` d´montrer doit ˆtre compl`tement et pr´cis´mment ´nonc´e. eea e e e e e e e

L’image des dominos : Imaginez - devant vous - une infinit´ de dominos plac´s l’un apr`s l’autre et verticalement. e e e On sait de plus que : – le premier domino est en train de tomber – au vu de la distance entre deux dominos, si le nie domino tombe alors le suivant (le n + 1e ) tombera. Qu’en d´duit-on ? e

Exemple :

Montrer que ∀n ∈ N, 2n ≥ n + 1.

On pose P(n) : ”2n ≥ n + 1”. – Initialisation de la r´currence : cas n = 0. e 20 = 1 ≥ 0 + 1 donc P(0) est vraie. – H´r´dit´ : Supposons que P(n) soit vraie pour un certain n ; on a donc 2n ≥ n + 1. ee e Nous devons prouver que (pour ce n) P(n + 1) est vraie, c’est-`-dire que 2n+1 ≥ (n + 1) + 1 = n + 2. a Mais 2n+1 = 2 × 2n donc comme par hypoth`se de r´currence, on a 2n ≥ n + 1 et que 2 ≥ 0, e e on obtient 2 × 2n ≥ 2(n + 1) soit 2n+1 ≥ 2n + 2. Or 2n + 2 − (n + 2) = n ≥ 0 donc 2n + 2 ≥ n + 2. Par cons´quent 2n+1 ≥ 2n + 2 ≥ n + 2, ce qui d´montre que P(n + 1) est vraie.