ECS1 Corrigé du Devoir Surveillé 5
Exercice 1 :
1. Cette série est une série à termes positifs. Considérons la somme partielle de rang n ∈ N∗.
Sn = n∑ k=1 k2+2 3k
=
n∑ k=1 k2(13)k + 2 n∑ k=1
(13)k par linéarité.
Sn = n∑ k=1
(k(k − 1) + k)(13)k + 2( n∑ k=0
(13)k − 1)
Sn = 1
9
n∑ k=2 k(k − 1)(13)k−2 + 1
3
n∑ k=1 k(13)k−1 + 2( n∑ k=0
(13)k − 1)
On reconnaît des sommes partielles associées à des séries géométriques et géométriques dérivées d'ordre 1 et
2 toutes convergentes puisque |13 | < 1.
Ainsi …afficher plus de contenu…

Finalement R3[X] = A⊕B ⊕ C
3. H et I sont des sous espaces vectoriels de R[X]. Ils seront supplémentaires si et seulement si H ∩ I = {0R[X]} avec R[X] = H + I.
Soit P ∈ R[X]. P ∈ H ∩ I ⇔ ∀X ∈ R, P (−X) = P (X) = −P (X)⇔ ∀X ∈ R, P (X) = 0
Ainsi H ∩ I = {0R[X]} donc H et I sont en somme directe.
Montrons maintenant que R[X] = H + I. On a clairement H + I ⊂ R[X] puisque H et I sont des sous espaces vetoriels de R[X]. Montrons par analyse synthèse que R[X] ⊂ H + I.
2� Analyse
Soit P ∈ R[X]. Supposons qu'il existe (Q1, Q2) ∈ H × I tels que ∀X ∈ R, P (X) = Q1(X) +Q2(X).
Alors ∀X ∈ R, P (−X) = Q1(−X) +Q2(−X) = Q1(X)−Q2(X).
En sommant les deux relations, on obtient Q1(X) =
P (X) + P (−X)
2
puis Q2(X) = P (X) − Q1(X) =
P (X)− P (−X)
2
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(2n+1(n+ 1)!)2
× π
2 et I2n+3 =
(2n+1(n+ 1)!)2
((2n+ 3)!
D'après l'hypothèse de récurrence, on a I2n =
(2n)!
(2nn!)2
× π
2 et I2n+1 =
(2nn!)2
((2n+ 1)!
.
De plus d'après la question 3b, I2n+2 =
2n+ 1
2n+ 2
I2n
d'où I2n+2 =
2n+ 1
2n+ 2
(2n)!
(2nn!)2
× π
2
I2n+2 =
(2n+ 1)!
2(n+ 1)(2nn!)2 π 2
I2n+2 =
(2n+ 2)!
(2n+1(n+ 1)!)2 π 2
On fait de même pour I2n+3.
Ainsi Pn ⇒ Pn+1
Conclusion : D'après le principe de récurrence, ∀n ∈ N, Pn est vraie
(d) function y=I(n) u=zeros(1,2*n+2) u(1) = %pi/2 u(2)=1 for k=3:(2*n+2) u(k) = (k-2)/(k-1)*u(k-2) end y=u endfunction 4. (a) Si (un) converge vers 0 alors cos(un)− 1 ∼ n→+∞ −(un)2
2
et ln(1 + un) ∼ n→+∞ un
(b) ln(cos(n
−1
4 )) = ln(1 + cos(n
−1
4 )− 1)
Or lim n→+∞ cos(n
−1
4 )− 1 = 0 d'où ln(cos(n
−1
4 )) ∼ n→+∞ cos(n
−1
4 )− 1.
De plus lim n→+∞ n