calcul formel et numérique

Pages: 152 (37753 mots) Publié le: 3 juin 2014
SYLLABUS
Cours de Calcul Formel et Numérique
INFO-F-205
Gianluca Bontempi
Ana da Silva Soares,
Martin De Wulf
Département d’Informatique, Faculté de Sciences
Université Libre de Bruxelles, ULB
Belgique

2

Table des matières
Index

2

1 Introduction au calcul numérique
1.1 Du modèle au problème mathématique . . .
1.1.1 Problèmes bien/mal posés . . . . . .
1.1.2Conditionnement d’un problème . .
1.2 La résolution d’un problème mathématique
1.3 Algorithmes et problèmes numériques . . .
1.3.1 Définition qualitative d’algorithme .
1.3.2 Complexité d’un algorithme . . . . .
1.3.3 Algorithmes numériques . . . . . . .
1.3.4 Consistance . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Stabilité d’un algorithme . . . . . .
1.3.6 Convergence d’un algorithme . . . .
1.4 Exercices . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Analyse d’erreurs
2.1 Erreurs absolue et relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sources d’erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Représentation des nombres en machine . . .. . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Notation à virgule fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Notation à virgule flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Répartition des nombres à virgule flottante . . . . . . . . . .
2.4 Représentation machine des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 L’erreur d’arrondi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5Erreurs d’arrondi et résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 L’erreur de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 L’erreur de génération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Opérations machines en virgule flottante . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 La propagation d’erreurs dans les opération arithmétiques en
virgule flottante . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Quelques conseils pour concevoir un algorithme stable . . . . . . . .
2.8 Standard IEC/IEEE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Gestion de la mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 L’analyse de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
2.11.1 Représentation en virgule fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.2 Représentation en virgule flottante normalisée . . . . . . . . .
2.11.3 Erreur d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.4 Erreur de génération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3

3
3
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7
8
8
9
10
10
11
13
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1921
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29
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30
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31
32
32
32
33
34

4

TABLE DES MATIÈRES

3 Résolution des systèmes linéaires
3.1 Exemples et motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Systèmes triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Analyse de complexité . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4 Élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Description de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Analyse de complexité . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 La factorisation LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 La méthode de Gauss vs. la factorisation LU . . . .
3.5.2 Le calcul du déterminant . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3...
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