Chaine de markov
15787 mots
64 pages
Université des Sciences et Technologies de Lille U. F. R. de Mathématiques Pures et AppliquéesChaînes de Markov
Daniel Flipo
Agrégation de Mathématiques
Sommaire
Définitions et exemples
Généralisations de la propriété de Markov . Cylindres sur E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N
. Opérateurs de décalage sur EN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriété de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classification des états . Classes d’états communicants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Récurrence et transience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorèmes limites . Cas j transient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mesures invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Période d’un état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas des chaînes irréductibles récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. ..
Propriétés algébriques des chaînes de Markov à espace d’états fini Exercices Bibliographie
Définitions et exemples
Définition . Soit (X n )n∈N une suite de variables aléatoires de (Ω, A , P) dans un espace E fini ou dénombrable appelé espace des états. ) On dit que (X n )n∈N est une chaîne de Markov si et seulement si P(X n+1 = j | X n = i , X n−1 = i n−1 , . . . , X 1 = i 1 , X 0 = i 0 ) = P(X n+1 = j | X n = i ) pour tout n ∈ N, pour tout état j et pour toute suite d’états i 0 , i 1 , . . . i n−1 , i , pour lesquels la probabilité conditionnelle a un sens, c.-à-d. tels que P(X n = i , X n−1 = i n−1 , . . . , X 1 = i 1 , X 0 = i 0 ) > 0. ) Si en plus la probabilité P(X n+1 = j | X n = i ) ne dépend pas de n, c.-à-d. si ∀n ∈ N, P(X n+1 = j | X n = i ) = P(X 1 = j | X