chapitre 3 dérivation

Pages: 13 (3095 mots) Publié le: 11 janvier 2014
CHAPITRE

3
ACTIVITÉ

Dérivation
(page 73)

3 a) L’équation réduite de la droite d : y = 3x – 2.

Activité

c) La droite d semble tangente en A à la parabole ᏼ.

2 b) Le coefficient directeur semble « s’approcher » de
m = 3.

4 b) Le coefficient directeur de la tangente est 3. Cela
confirme la conjecture faite précédemment.

PROBLÈME OUVERT
Par lecture graphique : en A decoordonnées (3 ; 0).
Par le calcul, après assimilation du chapitre.
1
La fonction f définie sur ]0 ; + ∞[ par f(t) = 1 +
est
t
1
dérivable en t = 1, et f’(t) = – 2 .
t

EXERCICES
1

Application (page 77)

La tangente en A(– 3 ; –1) passe par C(– 2 ; 1),
1+1
= 2;
donc le coefficient directeur m =
–2 + 3
donc f’(– 3) = 2.
La tangente B(1 ; 2) passe par D(3 ; 1),
1–2
1
donc m =
=– ;3–1
2
1
donc f’(1) = – .
2
2 Le coefficient directeur de (AB) est m = –1 – 3 = – 2 ;
4–2
donc f’(2) = – 2.

32

L’équation réduite de la tangente en P est :
y = f’(1)(x – 1) + f(1), soit y = – x + 3. Cette tangente coupe
l’axe des abscisses au point d’abscisse 3.

3

y
B

5
3
A
1
O

D

2
1

C
1

1
1

4

7

10

x

4

1
;
x2

1. a) f’(x) = –donc :
1
f’(1) = –1 et f’ –
= – 4.
2
b) Voir figure ci-contre.
2. Tangente en A :
y = −1(x −1) + 1
soit y = − x + 2.
Tangente en B :
1
−2
y = −4 x +
2
soit y = − 4x − 4.

A

1

1

B

–2

–3

1

–4

–6

1
1
1
; donc : f’(1) = et f’(4) = .
21x
2
4

11 Tangentes à une courbe passant par un point
• Les outils :
– Équation d’une tangente.
– Résolution d’uneéquation du second degré.
• L’objectif :
– Savoir déterminer les tangentes à une courbe issues d’un
point.
y

C

B

O–1+12
–1

4

5 x

6

1. f’(x) = 3x2 ;

donc :
f’(1) = 3 et f’(–1) = 3.
2. Voir figure ci-contre.
3. a) Les deux tangentes
semblent parallèles.
b) f’(1) = f’(−1) = 3.
Les deux tangentes ont
le même coefficient
directeur, donc elles
sont bien parallèles.

y
4Ꮿ

3

3

2 G
A
1
1
3
–3 –2 –1 0 –11
B 1
–2

2

3 x

–3

1
x
A

b) Il semble y avoir deux tangentes.

΂

΃

1
; m ≠ 0.
m
La tangente en M à Ᏼ a pour équation :
1
1
1
2
y = – 2 (x – m) + soit y = – 2 x + .
m
m
m
m
b) Dire que la tangente en M passe par A équivaut à dire
1
2
que –1 = – 2 + soit m2 + 2m – 1 = 0.
m m
c) Δ = 4 + 4 = 8 ; m1 = –1 – 12et m2 = –1 + 12.
On trouve donc deux tangentes, respectivement en :
B(–1 – 12 ; 1 – 12) et C(12 – 1 ; 12 + 1).
2. a) M m ;

12 Tangentes communes à deux points


–1–12

3

Activités de recherche (page 80)

EXERCICES

1. a)

2

1
x 1
(x − 1) + 1 soit y = + .
2
2 2
1
x
Tangente en B : y = (x − 4) + 2 soit y = + 1.
4
4

–5

1. a) f’(x) =

1

1

2. Tangente en A: y =

–4

5

A

0

2 x

–1

΃

1/2

1

1

1/4
1

–1

0
–1

B

2

2

΂ ΃

΂

b) y

y

• Les outils :
– Courbes de fonctions de référence.
– Équation d’une tangente.
– Condition nécessaire et suffisante pour que deux droites
soient confondues.
– Résolution d’un système 2 × 2 non linéaire.
• Les objectifs :
– Savoir déterminer les tangentes communesà deux
courbes.
– Savoir résoudre un système 2 × 2 non linéaire.
Chapitre 3 ● Dérivation

33

1. a)

c) x3 – 3x + 2 > 0 ⇔ x > – 2 et x ≠ 1.
d) Si x > – 2, Ꮿ est au-dessus de T.
Si x < – 2, Ꮿ est en dessous de T.

y
A

4




14 Narration de recherche
Pour le profil gauche de la forme f(x) = ax2 + bx + c :
f(– 6) = 0 ; f(– 4) = 7 ; f’(– 4) = 3.
36a – 6b + c = 0
(1)
Donc(S) 16a – 4b + c = 7
(2)
– 8a + b = 3
(3)
36a – 6b + c = 0 (4)
(5)
qui équivaut à 20a – 2b = – 7
– 8a + b = 3
(6)
1
Avec (5) et (6) : 4a = –1 ; d’où : a = – , b = 1 et c = 15.
4
1
Donc : f(x) = – x2 + x + 15.
4
La hauteur totale de la voûte est 15 m, correspondant à f(0).

Ά

1
–2



1
2

0

B

Ά

x

1

–2

b) Il semble n’y avoir qu’une seule tangente...
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