Dérivation

Taux de variation

Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Soit a et a+h deux réels de I avec h ≠ 0
Le taux de variation de f entre a et a+h est le rapport :

f(a+h) – f(a) = Δf h Δx

Interprétation graphique

Soient A ( a ; f(a) ) et B( a+h ; f(a+h) ) Le taux de variation de f entre a et a+h est le coefficient directeur de la droite (AB)

Nombre dérivé d'une fonction en un point

Définition : f est dérivable en a signifie que lorsque h tend vers 0 , le taux de variation f(a+h) – f(a) h tend vers un réel L
L est appelé nombre dérivé de f en a e il est noté f'(a), on note lim f(a+h)- f(a) = L = f'(a) h → 0 h

Interprétation graphique

Soit A ( a ; f(a) ) alors le nombre dérivé de f en a correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe en A

Tangente à la courbe en un point

Propriété :
Lorsque f est dérivable en a sa courbe représentative admet une tangente au point d'abscisse a qui a pour équation : y = f'(a)(x-a)+f(a)

Remarque :
Si f'(a) = 0 alors la tangente est horizontale.
Il existe des fonctions qui ne sont pas dérivable en un réel a
La dérivabilité d'une fonction f en a est liée a l'existence d’une tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a dont le coefficient directeur existe.
La non dérivabilité d'une fonction f en a peux correspondre au cas ou la tangente n'existe pas , ou encore au cas ou la tangente existe mais elle est parallèle a l'axe des ordonnées ( donc elle n'a pas de coefficient directeur )

Fonction dérivée

Définition :
Soit f une fonction définie Df et soit I un intervalle inclus dans Df. On dis que f est dérivable sur I su elle est dérivable pour tout a ϵ I .
On appelle alors fonction dérivées de f, la fonction f':x → f'(x)

Dérivée des fonctions usuelles

Fonction f
F est dérivable