Cinamatique

Pages: 13 (3170 mots) Publié le: 26 février 2013
Cinématique
En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du mouvement (celles-ci sont généralement modélisées par des forces et des moments). Elle utilise la géométrie analytique.
On peut dater la naissance de la cinématique moderne à l'allocution de Pierre Varignon le 20 janvier 1700 devant l'Académie royaledes sciences de Paris[1]. À cette occasion il définit la notion d'accélération et montre comment il est possible de la déduire de la vitesse instantanée à l'aide d'une simple procédure de calcul différentiel.
Définitions de base
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Cinématique du point
Il faut d'abord définir un référentiel, c'est-à-dire un repère de l’espace et une référence pourle temps, une horloge[2] ; on utilise en général le référentiel lié au laboratoire, par exemple dont les axes suivent les arêtes des murs de la pièce, ou bien celle de la table, ou encore les directions géographiques Nord-Sud, Est-Ouest et haut-bas (si le laboratoire est immobile par rapport au sol). L'objet de base est le point, sans dimension. Un point M est défini par ses coordonnées (x, y, z,t) et noté M(x, y, z, t).
Un objet réel est un volume, constitué d'une infinité de point. La cinématique du point consiste donc à étudier un point particulier d'un solide. On choisit des points caractéristiques, dont l'étude est simple et/ou donne des renseignements pertinents ; ce sont typiquement le centre de gravité du solide, qui joue un rôle important en dynamique, ou bien le point decontact du solide avec un autre. Si le solide est de petite dimension par rapport à son déplacement, et que l'on ne s'intéresse pas à sa rotation propre dans le référentiel, alors on peut se contenter de cette étude du point ; c'est le cas par exemple de la révolution des planètes dans le système solaire.
Les coordonnées définissent le vecteur position, qui dépend ainsi de la position et du temps[3].Le vecteur obtenu en dérivant les coordonnées par rapport au temps définit le vecteur vitesse. Le vecteur vitesse est indépendant du choix du point origine[3].

Le vecteur obtenu en dérivant les composantes du vecteur vitesse par rapport au temps définit le vecteur accélération

La mécanique du point permet de prévoir la position en fonction du temps, à partir de la vitesse initiale et desforces.
L'équation horaire du mouvement

correspond à l’équation paramétrique d'une courbe ; on peut souvent réduire ceci à un système d’équations cartésiennes

qui, dans le cas le plus simple, sont du type linéaire

Définition de l'abscisse curviligne
Cette courbe est l’ensemble des points par où passe le centre d'inertie du mobile. On définit alors l’abscisse curviligne, notée s, ladistance parcourue sur la courbe par rapport à un point de référence (la position du centre d'inertie du mobile à t=0). Pour un petit déplacement de M(x, y, z, t) à M(x+dx, y+dy, z+dz, t+dt), l'abscisse curviligne est assimilable à un segment, d'où :

On a donc .
La notion commune de vitesse est en fait la dérivée de l'abscisse curviligne. On parle souvent de « vitesse scalaire »[4] :
.
On a enfait
.
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Cinématique du solide
Il est souvent important de prendre en compte la rotation du solide. Le premier modèle est celui du solide indéformable : si l'on considère deux points M1 et M2 quelconque du solide, alors la distance M1M2 reste constante au cours du temps.
On peut étudier la trajectoire de chaque point du solide, mais on peut aussidéfinir le mouvement du solide de manière globale. Pour cela, on attache un repère au solide, (O1, x1, y1, z1) ; l'origine O1 est un point présentant un intérêt particulier, comme le centre de gravité, le centre d'un pivot (centre du cylindre d'un perçage), un sommet. La position du solide est alors définie par six paramètres :
* les coordonnées de O1 dans le repère du référentiel ;
* les...
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