Cinematique

Pages: 23 (5513 mots) Publié le: 21 mai 2013
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CINEMATIQUE

Cinématique

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III. CINEMATIQUE.............................................................................................................. 41 1. INTRODUCTION .................................................................................................................. 41 2. DEFINITION DES VECTEURS POSITION, VITESSE ET ACCELERATION .................................... 412.1 Position....................................................................................................................... 41 2.2 Vitesse......................................................................................................................... 43 2.3 Accélération ...............................................................................................................43 3. DIFFERENTIELLE D'UN VECTEUR ET DERIVEE ..................................................................... 43 3.1 Différentielle d'un vecteur unitaire dans un plan / dérivée....................................... 45 3.2 Différentielle /Dérivée d'un vecteur unitaire dans l'espace (lorsque ω et u ne sont pasperpendiculaires)....................................................................................................... 49 3.3 Différentielle d'un vecteur quelconque: conclusion................................................... 49 4.

OM , V

ET

Γ

DANS LES DIFFERENTS SYSTEMES DE COORDONNEES ........................... 51

4.1 Coordonnées cartésiennes.......................................................................................... 51 4.2 Coordonnées cylindriques (etpolaires) ..................................................................... 55 4.3 Coordonnées sphériques. ........................................................................................... 61 4.4 Coordonnées curvilignes, ou repère de Frenet.......................................................... 65 5. CONCLUSION..................................................................................................................... 69 ANNEXE: DIFFERENTIELLES DE SCALAIRES, VECTEURS.......................................................... 69

Position, vitesse et accélération

OM(t+dt) dOM OM(t)

V(t+dt)

dV

V(t)

V=

dOM dt

Γ=

dV dt

V est colinéaire à dOM

Γ est colinéaire à dV

dOM = V dt

forme différentielle

dV = Γ dt

Cinématique

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III. Cinématique
1. IntroductionLa cinématique consiste à analyser le mouvement de "points" sans se préoccuper des causes de ce mouvement. Nous ne parlerons donc pas ici des forces ou des lois de Newton. Ce chapitre est purement mathématique. L'espace sera supposé euclidien et isotrope, c'est à dire possédant les mêmes propriétés dans toutes les directions. D'autre part, en mécanique classique, le temps est considéré commeabsolu; il ne dépend pas du repère. Il faut savoir que la relativité rejette cette notion de temps absolu et montre que l'on ne peut confondre les temps de deux repères que lorsque les vitesses sont faibles devant la vitesse de la lumière. La position d’un point est généralement donnée dans un référentiel physique: le laboratoire, la terre, le soleil, l'observateur … Un repère lui est attaché, et unsystème de coordonnées est défini pour décrire le mouvement. Il est bien clair que deux observateurs placés dans des repères en mouvement l'un par rapport à l'autre ne percevront pas le même mouvement. Lorsqu'une bille tombe verticalement dans un train, le passager va observer une droite, tandis que la vache à terre va contempler une parabole! Ce chapitre se présente en trois parties. Nousrappellerons les définitions des vecteurs position, vitesse et accélération, puis nous introduirons la notion de différentielle d’un vecteur, et finalement nous apprendrons à exprimer les positions, vitesses et accélération dans différents types de repères : cartésien, cylindrique, sphérique, Frenet ; certains repères sont en fait mieux adaptés que d’autres pour l'analyse des problèmes, compte tenu des...
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