Composistion Du Premier Semestre 1ere S2
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Exercice 1: (6,5 points)1*) Soit le polynôme de la variable complexe Z défini par P(Z) = Z3 + (1 - 4i) Z 2- (7+4i) Z-3+4i
a) Montrer que l’équation P(Z) = 0 admet une solution imaginaire pure Z0. (0,5 point)
b) Résoudre dans C l’équation P(Z) = 0 et donner les solutions sous formes algébrique. (1 point)
2*) Soient A (1+2i), B (-2+i) et C (-1-2i) dans (O, C1, C2) repère orthonormée du plan complexe.
Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe f transformant A en B et o en C. (1 point)
3*) Soit la similitude directe g d’écriture complexe Z’= u3 Z+1 –u avec u C
a) Trouver les valeurs de u pour que g soit une translation (0,5 point)
b) Trouver les valeurs de u pour que g soit homothétie de rapport -8 (0,5 point)
c) Trouver les valeurs de u pour que g soit une rotation d’angle π/2 (0,5 point)
d) On pose u = 1 + i. calculer u3 et 1- u et en déduire les elements caractéristiques de g (1,5 points)
Problème: (13,5 points)
Partie A/ Soit la fonction g définie par g(x) = x+1+lnx
1°) a°) Déterminer Dg le domaine de définition de g. b°) Calculer les limites aux bornes Dg.
2°) a°) Calculer g’(x) et donner son signe b°) Dresser le tableau de variante de g
3°) a°) Montrer que l’équation g(x)=0 admet une solution unique et encadrer à 10-1 près. b°) En déduire le signe de g. Partie B/ soit la fonction f définie par
1°) a°) Déterminer Df le domaine de définition de f b°) Etudier les branche infinie de
2°) a°) Etudier la continuité de f en 0 b°) étudier la dérivabilité de f en 0 et interpréter les résultats.
3°) a°) Calculer f’(x) pour x ≤ 0 b°) Montrer que f’(x) = pour x > 0 c°) Dresser le tableau de variation de f.
4°) montrer que f ()= -
5°) tracer (cf) dans un repère orthonormé d’unité 2cm et prendre Soit h la restriction de f sur I = a°) Montrer que h est une bijection de I vers J à déterminer b°) Etudier la dérivabilité de