Corpus : la poesie est elle une fenetre ouverte sur le monde

Pages: 17 (4073 mots) Publié le: 13 novembre 2012
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 11 décembre 2011

Enoncés

1

Nombres complexes
Nombres complexes
Exercice 1 [ 02025 ] [correction] z+1 Soit z ∈ U \ {1}. Montrer que z−1 ∈ iR. Exercice 2 [ 02026 ] [correction] Soient P = {z ∈ C | Imz > 0}, D = {z ∈ C | |z| < 1} et f : C\ {−i} → C définie par z−i f (z) = z+i a) Montrer que tout élément de P à son image par f dans D. b) Montrer quetout élément de D possède un unique antécédent par f dans P . Exercice 3 [ 02027 ] [correction] a) Déterminer le lieu des points M d’affixe z qui sont alignés avec I d’affixe i et M d’affixe iz. b) Déterminer de plus le lieu des points M correspondant. Exercice 4 [ 02028 ] [correction] Calculer pour θ ∈ ]0, 2π[ et n ∈ N,
n n

Module et argument
Exercice 7 [ 02030 ] [correction] Déterminer module etargument de z = 2+ √ 2+i 2− √ 2.

Exercice 8 [ 02031 ] [correction] Soient z ∈ C et z ∈ C. Montrer |z + z | = |z| + |z | ⇔ ∃λ ∈ R+ , z = λ.z

Exercice 9 Etablir :

[ 02032 ]

[correction] ∀z, z ∈ C, |z| + |z | |z + z | + |z − z |

Interprétation géométrique et précision du cas d’égalité ?

Exercice 10 [ 02033 ] [correction] Déterminer module et argument de eiθ + 1 et de eiθ − 1 pour θ ∈R.

Exercice 11 [ 02034 ] [correction] iθ Simplifier eiθ −1 pour θ ∈ ]−π, π[. e +1 sin(kθ) Exercice 12 [ 02035 ] [correction] Déterminer module et argument de ei.θ + ei.θ pour θ, θ ∈ R.
n

Cn =
k=0

cos(kθ) et Sn =
k=0

Exercice 5

[ 02029 ]

[correction]
n

Calculer pour θ ∈ R et n ∈ N, Cn =
k=0

n k

cos(kθ) et Sn =
k=0

n k

sin(kθ).

Exercice 13 Centrale MP Soienta, b ∈ C. Montrer

[ 02356 ]

[correction] |a + b| + |a − b|

Exercice 6 [ 03458 ] [correction] Soient z0 ∈ C et r > 0 tels que |z0 | = r. On note C le cercle dans C de centre z0 et de rayon r. a) Pour z ∈ C, montrer z ∈ C ⇔ |z| − z0 z − z0 z + |z0 | = r2 ¯ ¯ b) En déduire que l’image de C par l’application f : z → 1/z est un cercle dont on précisera centre et rayon en fonction de z0 et r.2 2

|a| + |b| et préciser les cas d’égalité.

Exercice 14 Mines-Ponts MP [ 02646 ] [correction] Si (x, y, z) ∈ R3 vérifie eix + eiy + eiz = 0, montrer que e2ix + e2iy + e2iz = 0.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 11 décembre 2011 Exercice 15 [ 00055 ] [correction] Soit a ∈ C tel que |a| < 1. Déterminer l’ensemble descomplexes z tels que z−a 1 − az ¯ 1

Enoncés Exercice 22 X PC [ 03353 ] [correction] Soient n 3, ω1 , . . . , ωn les racines nème de l’unité avec ωn = 1. a) Calculer pour p ∈ Z,
n

2

Sp =
i=1

p ωi

b) Calculer
n−1

Exercice 16 X MP [ 03040 ] [correction] Quelle est l’image du cercle unité par l’application z →

T =
1 1−z

?

i=1

1 1 − ωi

Exercice 17 X PSI [ 03107 ][correction] Soit B une partie bornée non vide de C. On suppose que si z ∈ B alors 1 − z + z 2 ∈ B et 1 + z + z 2 ∈ B. Déterminer B.

Exercice 23 [ 02038 ] [correction] Soit ω une racine nème de l’unité différente de 1. On pose
n−1

S=
k=0

(k + 1) ω k

En calculant (1 − ω)S, déterminer la valeur de S. Exercice 18 [ 03249 ] [correction] Soit f : C → C définie par f (z) = Déterminer lesvaleurs prises par f . z + |z| 2 Exercice 24 Simplifier : a) j(j + 1) b) [correction]
j+1 j−1 .

[ 02039 ] j j 2 +1

c)

Exercice 19 [ 03457 ] [correction] En étudiant module et argument, établir que pour tout z ∈ C 1+ z n
n

Exercice 25 [ 02040 ] [correction] Soit n ∈ N . Résoudre l’équation (z + 1)n = (z − 1)n Combien y a-t-il de solutions ? Exercice 26 [ 02041 ] [correction] Soit n ∈ N .Résoudre dans C l’équation zn + 1 = 0 Exercice 27 [ 02042 ] [correction] Soit n ∈ N . Résoudre dans C l’équation (z + i)n = (z − i)n Observer que celle-ci admet exactement n − 1 solutions, chacune réelle.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

→ exp(z)

Racines de l’unité
Exercice 20 [ 02036 ] [correction] Calculer le produit des racines de l’unité

Exercice 21 [...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • Corpus : la poesie est elle une fenetre ouverte sur le monde ?
  • La poesie est elle une fenetre ouverte sur le monde ?
  • Dissertation : La poésie, une fenêtre ouverte sur le monde
  • Question sur corpus : fenêtres ouvertes sur le monde
  • Les fenêtres ouvertes
  • Fenêtres ouvertes
  • Fenêtre sur le monde
  • fenêtres ouvertes v hugo

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !