ESAIM: PROCEEDINGS,

July 2007, Vol.18, 48-56

Jean-Fr´d´ric Gerbeau & St´phane Labb´, Editors e e e e

´ ` SEMI-DISCRETISACE DU PATION EN ESPROBLEME DE LA STABILISATION ´ INTERNE DE L’EQUATION DES POUTRES

´ Karim Ramdani, Takeo Takahashi and Marius Tucsnak 1
Abstract. We consider the finite-difference space semi-discretization of the beam equation with an internal stabilization. By using a frequency domain approach, we prove that this scheme yields a uniform exponential decay rate (with respect to the mesh size). This positive result is in contrast with previous negative ones for the case of boundary stabilization or for other evolution equations.

R´sum´. On s’int´resse ` la semi-discr´tisation en espace de l’´quation des poutres avec dissipation e e e a e e interne par diff´rences finies. En utilisant une approche fr´quentielle, on prouve que le sch´ma construit e e e conduit ` un taux de d´croissance exponentielle de l’´nergie qui est uniforme (vis ` vis du pas de a e e a discr´tisation). Ce r´sultat positif est ` comparer aux r´sultats n´gatifs pr´c´demment ´tablis pour le e e a e e e e e cas de la stabilisation fronti`re ou pour d’autres ´quations d’´volution. e e e

Introduction
Cet article est consacr´ ` l’´tude de l’approximation num´rique du probl`me de la stabilisation interne e a e e e de l’´quation des poutres. On suppose que la poutre est soumise ` une force distribu´e de type feedback e a e (stabilisation interne). On consid`re l’approximation usuelle du probl`me par un sch´ma aux diff´rences finies e e e e semi-discr´tis´ en espace. On montre qu’un tel sch´ma conduit ` des solutions approch´es v´rifiant une propri´t´ e e e a e e ee de d´croissance exponentielle uniforme de l’´nergie (vis ` vis du pas de discr´tisation h). e e a e A premi`re vue, ce r´sultat peut paraˆ tr`s naturel. Il l’est moins si on le compare aux nombreux r´sultats e e ıtre e e n´gatifs ´tablis pour des probl`mes similaires. En effet, il s’av`re que des discr´tisations