Terminale S

Contrôle de mathématiques
Mardi 22 novembre 2011

Exercice 1
Equation différentielle (6 points) Partie A : ROC On utilisera le résultat suivant : les solutions de l’équation différentielle y′ = ay où a ∈ R sont les fonctions g définies sur R par g(x) = Keax où K ∈ R. Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l’équation différentielle (E) y = ay + b où a ∈ R∗ et b ∈ R.
′

b 1) Démontrer que la fonction f0 définie sur R par f0 (x) = − est une solution de (E). a 2) Soit f une fonction définie et dérivable sur R. Démontrer l’équivalence suivante : f est solution de (E) ⇔ f − f0 est solution de l’équation différentielle y′ = ay. 3) En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E). Partie B Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note v(t) sa vitesse à l’instant t, où t est exprimé en secondes et v(t) en mètres par seconde. On suppose de plus que la fonction v ainsi définie est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[. Un modèle simple permet de considérer que la fonction v est solution de l’équation différentielle : 10v′ (t) + v(t) = 30. Enfin, on suppose que, lorsque le cycliste s’élance, sa vitesse initiale est nulle, c’està-dire que v(0) = 0.  t      −     1) Démontrer que v(t) = 30 1 − e 10 .       b) Déterminer la limite de la fonction v en +∞. 3) On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération v′ (t) est inférieure à 0,1 m.s−2 . Déterminer, à la seconde près, à l’aide de votre calculette la plus petite valeur de t à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée. Aucune justification n’est demandée.

2) a) Déterminer le sens de variation de la fonction v sur l’intervalle [0 ; +∞[.

Exercice 2
Limites, dérivées, équation et inéquation (6 points) 1) Déterminer les limites suivantes : ex − 1 b) lim (1 + x)e x a) lim x→−∞ x→+∞ x
Paul Milan

c) lim e2x − e x + 2 x→+∞ d) lim

e2x − 1 x→0 x

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