Terminale S

Corrigé du D.M. de Mathématiques n° 7
Exercice 79 p 207
Juliette débute un jeu dans lequel elle joue un certain nombre de parties. On note, pour n entier naturel non nul : G n l’événement « Juliette gagne la n-ième partie » Pn l’événement « Juliette perd la n-ième partie »

Partie A
1. Juliette a autant de chances de gagner ou de perdre la première partie donc p ( G1 ) = 0,5 . Si Juliette gagne une partie, la probabilité qu’elle gagne la partie suivante est 0,6 donc p G1 ( G 2 ) = 0, 6 .
Si Juliette perd une partie, la probabilité qu’elle perde la partie suivante est égale à 0,7 donc p P1 ( P2 ) = 0, 7 . On en déduit la probabilité de l’événement contraire :

p P1 ( G 2 ) = 1 − p P1 ( P2 ) = 1 − 0, 7 = 0,3

donc

p P1 ( G 2 ) = 0,3

P1 et G1 forme une partition de l’univers donc, en utilisant la formule des probabilités totales on a : p ( G 2 ) = p ( G1 ) × pG1 ( G 2 ) + p ( P1 ) × p P1 ( G 2 ) = 0,5 × 0, 6 + 0,5 × 0,3 = 0, 45 donc : p ( G 2 ) = 0, 45 2. p ( P2 ) = 1 − p ( G 2 ) = 1 − 0, 45 = 0,55 donc p ( P2 ) = 0,55

Partie B
On pose, pour tout entier naturel non nul, x n = p ( G n ) et y n = p ( Pn ) 1. pG n ( G n +1 ) = 0,6 donc pG n ( Pn +1 ) = 1 − pG n ( G n +1 ) = 1 − 0, 6 = 0, 4

p Pn ( Pn +1 ) = 0, 7 donc p Pn ( G n +1 ) = 1 − p Pn ( Pn +1 ) = 1 − 0, 7 = 0,3 .
Donc : p G n ( Pn +1 ) = 0, 4 et p Pn ( G n +1 ) = 0, 3

1

2. Pn et G n forme une partition de l’univers donc, en utilisant la formule des probabilités totales on a : p ( G n +1 ) = p ( G n ) × pG n ( G n +1 ) + p ( Pn ) × p Pn ( G n +1 ) = 0, 6 x n + 0,3 yn

p ( Pn +1 ) = p ( G n ) × pG n ( Pn +1 ) + p ( Pn ) × p Pn ( Pn +1 ) = 0, 4 x n + 0, 7 y n donc : x n +1 = 0, 6 x n + 0,3 y n et y n +1 = 0, 4 x n + 0, 7 y n

3. Pour tout entier naturel n, on pose : v n = x n + y n et w n = 4x n − 3y n a) v n +1 = x n +1 + y n +1 = 0, 6x n + 0, 3y n + 0, 4x n + 0, 7y n = x n + y n = v n pour tout n de
∗ donc la suite ( vn ) est constante et,

pour tout entier